¿Por qué la geometría simpléctica tiene muchas aplicaciones en matemáticas?

Question

No es del todo intuitivo , al menos desde su origen. ¿Podría alguien darme una explicación intuitiva?

Answer 1

Dos cualesquiera de (a) la estructura simpléctica, (b) la estructura casi compleja y (c) la estructura riemanniana determinan la tercera. Esto refleja el hecho de que $$ U(n) = O(2n) \cap GL(n,\mathbb{C}) \cap Sp(2n),$$ pero la intersección de dos cualesquiera ya es $U(n)$ . Esto da lugar a la teoría de las variedades de Kähler (véase wikipedia), que son fundamentales para la simetría especular (y la conjetura de la simetría especular).

Answer 2

Supongo que habría que preguntarse: ¿qué tipo de aplicaciones?

Una de las áreas en las que se utiliza la geometría simpléctica es la dinámica hamiltoniana, en la que el marco geométrico permite generalizar fuera de los haces cotangentes, pero esta dirección está directamente relacionada con los orígenes del tema.

Otra dirección procede de la geometría algebraica, donde el hecho de que la estructura compleja y riemanniana determine una estructura simpléctica (véase la respuesta de Aaron) hace que todas las variedades algebraicas complejas proyectivas (y afines) sean simplécticas. Considerarlas como tales permite utilizar métodos diferenciales-geométricos, mientras que la forma simpléctica proporciona cierto control (en la teoría de curvas holomorfas, la forma simpléctica proporciona los límites de energía cruciales sin los cuales las cosas se desmoronan; por eso no existe la teoría de Gromow-Witten de los múltiples casi complejos). Añada un poco de simetría especular a la mezcla y tendrá interacción con muchas otras áreas de las matemáticas.

También está el hecho de que el producto cuña es antisimétrico, lo que hace que el espacio de conexiones en un haz principal sobre un colector riemanniano de 2 dimensiones sea un colector simpléctico (de dimensión infinita) (el grupo de galgas es hamiltoniano, y la curvatura es el mapa de momentos, lo que hace que las conexiones planas sean la reducción). Esto conduce, para G=SO(3) y la superficie procedente de un desdoblamiento de Heegard, a la conjetura de Atiyah-Floer y algunas cosas relacionadas conducen a la teoría de Heegard-Floer. De ahí las conexiones con la topología de baja dimensión. La conexión "ingenua" aquí es la antisimetría subyacente a la forma simpléctica y el producto cuña, pero probablemente haya una razón más profunda conocida por los sabios...

Answer 3

Hay una respuesta "filosófica" muy sencilla: Las formas simplécticas sólo permiten medir cantidades bidimensionales, no unidimensionales (se puede medir el área infinitesimalmente). Esa es la diferencia básica con la geometría de Riemann, donde se puede medir la longitud infinitesimalmente.

Además, la geometría simpléctica aparece en relación con el haz cotangente. Por ejemplo, si tenemos un operador diferencial (escalar) de primer orden en una variedad, entonces el símbolo principal se transforma como un covector (al cambiar las coordenadas). Nótese que esto no requiere una métrica.

Answer 4

La geometría simpléctica es aplicable en muchas áreas, como la mecánica clásica y la mecánica hamiltoniana. Navegando por la red he encontrado una razón por la que la GE es buena para la mecánica clásica. Puedes leerlo aquí: http://research.microsoft.com/en-us/um/people/cohn/thoughts/symplectic.html