¿Por qué la característica de un campo finito tiene que ser siempre prima?

Question

Sé poco de teoría de grupos y el concepto de característica de campo es nuevo para mí. Aunque hay algunos posts en esta web que lo explican muy bien.

"En términos sencillos, es la cantidad de veces que podemos seguir sumando 1 a sí mismo sin volver a 0. La característica es $p$ significa que $\underbrace{1+1+\dots+1}_p=0$ ."

Creo que puedo entender la idea, pero todavía hay algo que no entiendo.

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"Podemos ver rápidamente usando un argumento de divisor cero que la característica de cualquier campo con característica positiva debe ser primo".

¿Por qué tiene que ser primordial? ¿Por qué no puede ser otra cosa?

Answer 1

Supongamos que la característica $n$ es compuesto con factores $1<p,q<n$ . Entonces podrías escribir $$\underbrace{(1+1+\dots+1)}_p\underbrace{(1+1+\dots+1)}_q=\underbrace{1+1+\dots+1}_{n}=0$$ pero esto significa $pq=0$ Así que $p$ y $q$ son divisores de cero, lo que contradice los axiomas del campo.

Answer 2

Si la característica $n = jk \neq 0$ para algunos $j,k \in \mathbb{N}$ que interpretamos como la suma de $1$ s en el campo entonces $j$ y $k$ son divisores de cero y eso es importante porque esto significa $j^{-1}$ y $k^{-1}$ no existen, lo que viola el axioma de un campo que requiere inversiones multiplicativas.