Ecuación integral y existencia: $g(x)=\int_{-\infty}^{\infty} \prod _{j=1}^nf(u-x_j)du$

Question

Me gustaría saber cómo se podría ir sobre la muestra de que la siguiente función, $f$, que es casi en todas partes positivo existe:

$$g(x_1,\cdots,x_n)=\int_{-\infty}^{\infty} \prod _{j=1}^nf(u-x_j)du$$ where $g:\mathbb{R}^n:\rightarrow \mathbb{R}$ satisface:

(1) $g(x_1,\cdots,x_n)$ es la derivada es el n-ésimo orden en derivadas parciales de $\frac{\partial \ln(G(e^{x_1},\cdots,e^{x_n})}{\partial x_1x_2...x_n}$; en caso de $G(e^{x_1},\cdots,e^{x_n})$ es simétrica y homogénea de grado 1, $G(0)=0$, $\lim G(y)\rightarrow \infty$ como $y \rightarrow \infty$, $G(y)>0$.

(2) $g\ge0$

Si esto no es posible, puede sugerir maneras de agregar restricciones, por lo que ese $f$ existe? Sé que esto es pedir mucho, pero me preguntaba si alguien estaría dispuesto a dar un poco de dirección.

Muchas gracias por adelantado!!!!!

Answer 1

Esto está lejos de una respuesta completa. El propósito es identificar las condiciones necesarias para $g$ que tiene el postulado forma.

Usted tendrá que asumir que $g$ es simétrica en sus argumentos, ya que la integral del producto tiene esta propiedad.

Además, su función de $g$ debe satisfacer la condición simple $g(x_1+t,x_2+t, \dots, x_n+t) = g(x_1,x_2, \dots, x_n)$ todos los $t$ y todos los $x$ (uso un cambio de variables en la integral).

Por otra parte, $g$ debe satisfacer diversas momento de las desigualdades. Por ejemplo, si $n = 2$, $g$ debe satisfacer $g(x_1,x_2) \le \sqrt{g(x_1,x_1)g(x_2,x_2)} = g(0,0)$ todos los $x = (x_1,x_2)$, por Cauchy-Schwarz. Más tales condiciones necesarias provienen de Hoelder la desigualdad en $n > 2$.