Si $f(x)+2f(\frac{1}{x})=2x^2$ qué es $f(\sqrt{2})$

Question

Pregunta

Si $f(x)+2f(\frac{1}{x})=2x^2$ qué es $f(\sqrt{2})$

Mis pasos

He intentado conectar en $\sqrt{2}$ en la ecuación pero que no meterme en cualquier lugar porque entonces tendría $2f(\frac{1}{\sqrt{2}})$ en el camino. ¿Me preguntaba sobre cómo resolver esta ecuación?

Answer 1

Consejo: Estás a mitad de camino allí. Si se conecta en $x=\sqrt{2}$, obtendrá $$ f(\sqrt{2}) +2f\left (\frac {1} {\sqrt {2}} \right) = 4. $$ Ahora, si enchufa $x=\frac{1}{\sqrt{2}}$, entonces usted consigue, en cambio $$ f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) +2f (\sqrt {2}) = 1. $$ Se pueden utilizar estas dos ecuaciones para resolver $f(\sqrt{2})$: en la segunda ecuación, resolver $f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ $f(\sqrt{2})$ y luego este enchufe en la primera ecuación.

Answer 2

Si $f(x)+2f(\frac{1}{x})=2x^2$, luego por sustitución $f(\frac{1}{x})+2f(x)=\frac{2}{x^2}$% y tan $f(\frac{1}{x})=\frac{2}{x^2}-2f(x)$. Sustitución de $f(\frac{1}{x})$ en la primera ecuación da $f(x)+2[\frac{2}{x^2}-2f(x)]=2x^2$. Resolver $f(x)$: $f(x)=\frac{2}{3}[\frac{2}{x^2}-x^2]$. Así $f(\sqrt{2})=-\frac{2}{3}$.

Answer 3

Es de suponer que la ecuación tiene para todos los $x\neq0$.

Te han dado $$ f(x)+2f(\frac1x)=2x^2.\qquad(1) $$ Conectar $1/x$ en lugar de $x$ da $$ f(\frac1x)+2f(x)=\frac2{x^2}.\qquad(2) $$ Se puede tratar a $A=f(x)$ $B=f(1/x)$ como incógnitas en el sistema lineal que se obtiene por la combinación de $(1)$$(2)$. Así $$ \begin{cases}A+2B&=2x^2,\\ 2A+B&=\dfrac2{x^2}. \end{casos} $$ Usted puede resolver por $A$ $B$ cualquier forma que desee. Por ejemplo, la multiplicación de última ecuación por $2$ y restando la ecuación resultante de la antigua elimina $B$ y da $$ -3A=2x^2-\frac4{x^2}, $$ o $$ f(x)=A=-\frac23x^2+\frac4{3x^2}. $$ Conectar $x=\sqrt2$ da $f(\sqrt2)=-2/3$.

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La clave fue que la sustitución de $x\mapsto 1/x$ es un pedido de dos racional de transformación (= dos veces y se obtiene lo que se inició con). La sustitución de $x\mapsto -x$ se produce con más frecuencia (por ejemplo, cuando usted mira a la par/impar funciones), pero a menudo cualquier orden dos sustitución puede ser manejado con el mismo truco. El transformationion $x\mapsto g(x)=-1/(x+1)$ ha pedido tres: $g(g(x))=-1-1/x$, $g(g(g(x)))=x$. Entonces tendría que combinar tres valores, $f(x)$, $f(-1/(x+1))$ y $f(-1-1/x)$, para tomar ventaja.