Formas en que una variedad puede ser geodésicamente incompleta

Question

Ingenuamente, habría pensado que una variedad se vuelve geodésicamente incompleta si le faltan puntos o si las geodésicas chocan contra un límite.

Pero no estoy seguro de cómo pensar en la completitud geodésica o no para las variedades con un límite. Como pensar para el disco cerrado en $\mathbb{R}^2$

Me gustaría conocer otras formas genéricas en las que puede darse la incompletitud geodésica. (Como en el caso de las variedades pseudo-riemannianas, los teoremas de Hawking-Penrose definen muchos escenarios genéricos).

Como de $\mathbb{R}^2$ (con la métrica estándar) si se elimina el punto $(0,0)$ entonces no hay geodésica desde digamos el punto $(-1,0)$ a $(1,0)$ .

• Pero no consigo visualizar cómo puedo realmente poner una métrica completa en este plano perforado y hacerlo geodésicamente completo? Puedo intentar hacer que la métrica sea hiperbólica cerca del punto eliminado, de modo que las geodésicas que se aproximen a él nunca lleguen a alcanzarlo, sino que se desvíen hasta el infinito, pero incluso así no veo cómo producir una geodésica que conecte $(-1,0)$ a $(1,0)$

También hay otras dos formas de producir la incompletitud geodésica que conozco pero no entiendo bien,

• Cualquier subconjunto abierto de una variedad riemanniana conexa completa es geodésicamente incompleto. (Supongo que esto se deduce de Hopf-Rinow, pero no lo veo claro).

• Una superficie no compacta que no es difeomorfa a $\mathbb{R}^n$ y si para alguna métrica cada punto de esta superficie tiene curvatura positiva, entonces la métrica sobre ella debe ser incompleta.

Me encantaría ver explicaciones sobre las cosas anteriores y también ejemplos para el segundo caso.

¿Es posible también escribir como fórmulas ejemplos sencillos de geodésicas incompletas?

Answer 1

A tu primer punto, ciertamente podrías hacerlo hiperbólico cerca del punto. La geodésica (no única) que conecta (-1,0) con (1,0) rodeará la cúspide y parecerá semicircular (pero no creo que sea realmente un semicírculo, sólo aproximadamente).

Quizá algo más fácil de visualizar sea que $\mathbb{R}^2 - \{pt\}$ es difeomorfo a $S^1\times\mathbb{R}$ . Si le das a este espacio la métrica de producto de las métricas habituales, podrás ver y elaborar fácilmente los detalles.

En cuanto a su segundo punto, debería modificar ligeramente la afirmación (y de forma un tanto pedante). Cualquier correcto subconjunto abierto no vacío $U$ de una variedad conexa completa $M$ está incompleta. Para verlo, veamos $p\in U$ et $q\in M-U$ . Por Hopf-Rinow, ya que $M$ es completa existe una geodésica $\gamma$ a partir de $p$ y terminando en $q$ . Desde $U$ es un subconjunto abierto, es totalmente geodésico: lo que $U$ piensa que son geodésicas son precisamente lo que $M$ lo hace. Así $U$ piensa $\gamma$ es una geodésica que no permanece en $U$ para siempre, por lo tanto $U$ está incompleta.

Al tercer punto, (usted dice "superficie" y luego utiliza $\mathbb{R}^n$ ), el teorema es cierto para $\mathbb{R}^n$ de Cheeger y Gromoll Teorema del alma junto con la prueba de Perelman de la Conjetura del Alma. El teorema del alma afirma que si $M$ es completa y tiene curvatura seccional no negativa, entonces $M$ tiene una submanifold compacta totalmente convexa totalmente geodésica $K$ (llamada alma) para que $M$ es difeomorfo al haz normal de $K$ . La conjetura del Alma pregunta: Si $M$ tiene curvatura no negativa en todas partes y un punto con todas las curvaturas seccionales positivas, debe $K$ ser un punto?

Perelman demostró que la respuesta es sí: bajo estas hipótesis, $K$ es un punto. Pero un haz normal de un punto en una múltiple es difeomorfo a $\mathbb{R}^n$ .

Por último, me han dicho, pero no tengo ni idea de referencias/pruebas/etc que toda superficie no compacta tiene alguna métrica (necesariamente incompleta si la superficie no es $\mathbb{R}^2$ por lo anterior) de curvatura positiva. Intentaré buscar una referencia mañana, si me acuerdo.

Answer 2

En la pregunta inicial se planteaba qué nuevos problemas surgen cuando se generaliza de un espacio riemanniano a uno semirriemanniano. Intentaré esbozar la descripción.

Por lo general, no queremos llamar a algo singularidad si está en cierto sentido infinitamente lejos, de modo que no se puede llegar a ella. Para formalizar esta noción, se necesita la idea de incompletitud geodésica. En el caso riemanniano, se puede caracterizar diciendo que una geodésica no puede extenderse en una dirección determinada más allá de una longitud determinada, medida por la métrica. En el caso semi-Riemanniano, no queremos "longitud" medida por la métrica, porque una curva nula siempre tiene longitud cero. En su lugar, hay que hablar de extender la geodésica más allá de un determinado parámetro afín.

Como en el caso riemanniano, se pueden tener tanto singularidades de curvatura como singularidades cónicas. En 2+1 dimensiones, todas las singularidades de las soluciones de vacío son cónicas, es decir, no hay agujeros negros con horizontes de sucesos.

Puede haber singularidades temporales, espaciales o nulas. Estas nociones no están definidas por defecto, porque la singularidad no es un conjunto de puntos de la variedad. Por ejemplo, para definir una singularidad temporal, hay que hablar de una curva temporal (un observador) que contenga los puntos p y q, de manera que la singularidad se encuentre en el futuro causal de p y en el pasado causal de q. Las singularidades cosmológicas y de agujero negro son espaciales, no temporales. Una singularidad temporal es una forma de definir una singularidad desnuda (Penrose 1973), que hace que las superficies de Cauchy no existan (Geroch 1970).

La forma en que los relativistas acaban clasificando mentalmente todas estas cosas es en términos de sus diagramas de Penrose: http://en.wikipedia.org/wiki/Penrose_diagram

Penrose, Gravitational radiation and gravitational collapse; Actas del Simposio, Varsovia, 1973. Dordrecht, D. Reidel Publishing Co. pp. 82-91, http://adsabs.harvard.edu/full/1974IAUS...64...82P (no de pago)

Geroch, J Math Phys 11 (1970) 437