Límite de uso por cupón

Question

Obviamente, el límite no existe o converge a$x$.
Soy parcial hacia lo último, y tengo un argumento incompleto relacionado con la Serie de Fourier que corrobora mi inclinación. Siéntase libre de refutarme / afirmar mi corazonada. PS

Answer 1

Sabemos que$\lfloor x/a \rfloor \le x/a < \lfloor x/a \rfloor +1$, así que $$a> 0 \ Rightarrow a \ lfloor x / a \ rfloor \ le x <a \ lfloor x / a \ rfloor + a \\ a <0 \ Rightarrow a \ lfloor x / a \ rfloor + a <x \ le a \ lfloor x / a \ rfloor <$$ lo que significa que $$a> 0 \ Rightarrow 0 \ le x - a \ lfloor x / a \ rfloor <a \\ a < 0 \ Rightarrow a <x - a \ lfloor x / a \ rfloor \ le 0,$$ y así $$| x - a \ lfloor x / a \ rfloor | \ le | a |.$$ Por lo tanto,$a \lfloor x/a \rfloor \to x$ como$a \to 0$ por el lemma de compresión.

Answer 2

Lo pensé demasiado
Por $a\gt0$:
$\frac{x}{a}-1 \lt \lfloor\frac{x}{a}\rfloor \lt \frac{x}{a}+1$
$a\frac{x}{a}-a \lt a\lfloor\frac{x}{a}\rfloor \lt a\frac{x}{a}+a$
La convergencia se desprende del teorema de compresión.
$a\lt0$ es similar.