¿Cada sistema de medida distinto a cero finito tiene a lo más un número contable de subconjuntos disjuntos de medida distinto de cero?

Question

Estoy confundido porque la prueba del lema de Hahn en Royden requiere la enumeración de conjuntos de medida negativa. (Estamos trabajando en medidas firmadas) ¿Si se excluye el contraejemplo de la utilización de subconjuntos de medida cero, dice singleton, usted ahora tendrá que decir que hay solamente contable muchos subconjuntos?

Edit: he añadido la condición de separados.

Answer 1

No. Considere el intervalo de $[a,b]$ y sus subconjuntos de la forma $[c,b]$ $a<c>Edit: ya que eres ahora agregar disjointness como condición, entonces la respuesta es "sí". Observe en particular que hay infinitamente muchos subconjuntos de medida positiva o infinitamente muchos subconjuntos de medida negativa, argumento (vinculado) trabajos de así que Quiaochu o GEdgar (abajo). De cualquier manera, tienes tu respuesta.

</c>

Answer 2

Supongamos que establece$A_i$$i \in I$, un innumerable conjunto de índices, satisfacer: $A_i$ son disjuntos a pares y $\mu(A_i)<0$. Si $I_n = \{i \in I: \mu(A_i) < -1/n\}$, $I$ es la unión de countably muchos conjuntos de $I_n$. Sabemos que una contables de la unión de conjuntos contables es contable, por lo $I_n$ es incontable para algunos $n$. Fijar un $n$. Elija $i_1,i_2,\cdots \in I_n$ todos diferentes. Entonces $$\mu\left(\bigcup_{k=1}^\infty A_{i_k}\right) = \sum_{k=1}^\infty \mu\left(A_{i_k}\right) = -\infty$$ (una serie infinita, donde cada término es ${}\le -1/n\;$). Medir el $-\infty$ no está permitido para una firma de medida.