¿Epimorphism, en la categoría de anillos comutativos con unidad, con dominio de un campo es un isomorfismo?

Question

Deje $R$ ser un anillo conmutativo con unidad y $k$ ser un campo. Deje $f: k \to R$ ser un "epimorphism" de anillos conmutativos (https://en.wikipedia.org/wiki/Epimorphism) es decir, $f$ es un anillo homomorphism preservar la unidad y para cualquier anillo conmutativo con unidad $S$ y el anillo homomorphisms preservar la unidad $g,h: R \to S$, $g \circ f=h\circ f$ implica $g=h$. Entonces, ¿es verdad que $f$ es un isomorfismo ?

Puedo ver que $R$ $k$- álgebra estructura dada por $f$, y también desde $k$ es un campo, $f$ es inyectiva, lo suficiente para probar que $f$ es surjective. Pero no sé cómo acercarse más.

Por favor, ayudar.

Answer 1

La respuesta a la pregunta "Vamos a $f:k\to R$ ser un epimorphism de anillos conmutativos... Entonces, ¿es verdad que $f$ es un isomorfismo?" No es porque la única morfismos $k\to0$ es un epimorphism.

El OP de la instrucción que $f:k\to R$ es necesariamente inyectiva no es cierto.

Si la intención de la pregunta era "¿es cierto que $f$ es surjective?", la respuesta es Sí, porque un fielmente plano epimorphism es un isomorfismo por Lema 10.106.7 en https://stacks.math.columbia.edu/tag/04VM. De hecho, cualquier valor distinto de cero $k$-espacio vectorial es fielmente plana por $k$.