Describir el conjunto de funciones armónicas $h(x,y)$ $\mathbb{C}$ % s.t. $(x^2-y^2)h(x,y)$es armónico.

Question

La siguiente es una pregunta qual-prep:

Describir el conjunto de funciones armónicas $h(x,y)$ $\mathbb{C}$ % s.t. $(x^2-y^2)h(x,y)$es armónico.

He intentado utilizar la definición de la función armónica de la que después de algunas manipulaciones algebraicas puedo ver que $h$ debe satisfacer $y \frac{\partial h}{\partial y} = x \frac{\partial h}{\partial x}$. Pero creo que la respuesta exige una respuesta más explícita y no sé cómo hacerlo desde aquí.

Answer 1

Desde $h$ satisface la condición : $x h_x - yh_y = 0$ podemos sucesivamente tomar las derivadas parciales con respecto a $x$ $y$ a obtener,

$xh_{xx} + h_x - yh_{xy} = 0 \quad \text{ and } \quad xh_{yx} - h_y - yh_{yy}= 0$.

El uso de las identidades $h_{xx} + h_{yy} = 0$ $h_{xy} = h_{yx}$ obtenemos a partir de las dos ecuaciones de arriba,

$\quad h_x - xh_{yy} - y(\frac{1}{x}h_y + \frac{y}{x} h_{yy})=0; \quad (x\not=0)$

$\implies -(x^2+ y^2) h_{yy} = 0 \implies h_{yy} = 0$. Del mismo modo podemos llegar a $h_{xx} = 0$.

De $h_{yy} = 0$ puede escribir que $h(x,y) = A(x)y + B(x)$ y, a continuación, compare con $h_{xx} = 0$, para llegar a la conclusión de que $B = constant$, e $A(x) = Kx$ donde $K$ es otra constante. Por lo tanto todos estos armónicos son funciones de la forma $h(x,y) = Kxy + B$.

Answer 2

Sugerencia: si $h$ satisface la condición, mostrar que $h(x,y)$ es constante en las ramas de la hipérbolas $xy = c$. Entonces ¿qué $h(x,y) = f(xy)$ ser armónico dice te $f$?