La pregunta es:
Si $\sum x_n$ converge, hace $\sum \sin x_n$ ¿converger?
Sé que si $\sum x_n$ converge absolutamente, entonces $\sum \sin x_n$ converge. Mi intuición es que no podemos abandonar por completo la convergencia absoluta, pero me cuesta encontrar un contraejemplo.
Tienes razón, sin la convergencia absoluta esto no es necesariamente cierto. Aquí hay una construcción de un contraejemplo, aunque no muy elegante: Dejemos que $a_n = n^{-1/3}$ para $n=1,2,\ldots$ para que $\sum_{n=1}^\infty (a_n - \sin a_n) \approx \sum_{n=1}^\infty a_n^3/6 = \sum_{n=1}^\infty n^{-1}/6 = \infty$ diverge. Definir $y_{2k-1} = y_{2k} =a_k$ para que la serie alterna $\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} y_n = a_1 -a_1 + a_2 -a_2 \pm \ldots$ obviamente converge a cero. Ahora sustituye cada término positivo $y_n$ en esta serie con $2^{n}$ términos $x_k = 2^{-n} y_n$ es decir, pasar a la serie $a_1/2+a_1/2-a_1 + a_2/4+a_2/4+a_2/4+a_2/4-a_2 \pm \ldots$ . Obviamente, esta serie sigue convergiendo a cero. Sin embargo, la serie $\sum_{n=1}^\infty \sin x_n$ serán divergentes. La razón de esto es que la serie de diferencias $\sum_{n=1}^\infty (x_n - \sin x_n)$ diverge, y la razón es que los términos positivos de esta serie son $\sum_{n=1}^\infty 2^n(2^{-n}a_n)^3 \approx \sum_{n=1}^\infty 4^{-n}n^{-1}/6 < \infty$ mientras que los términos negativos son $\sum_{n=1}^\infty (-a_n+\sin a_n) \approx \sum_{n=1}^\infty (-n^{-1}/6) = -\infty$ .
Definamos una secuencia $a_n$ tres mandatos a la vez. La página web $n$ La agrupación tendrá el siguiente aspecto $$\frac{1}{n^{1/3}}, \frac{-1}{2 n^{1/3}}, \frac{-1}{2n^{1/3}}.$$
Entonces $\sum a_n$ converge (de hecho la suma es $0$ ). Ahora recuerde $\sin x = x - x^3/6+O(x^5).$ El $n$ a agrupación para $\sin a_n$ entonces se ve como
$$\frac{1}{n^{1/3}}-\frac{1}{6n} + O(1/n^{5/3}),\frac{-1}{2n^{1/3}} + \frac{1}{48n} + O(1/n^{5/3}), \frac{-1}{2n^{1/3}} + \frac{1}{48n} + O(1/n^{5/3}).$$
La suma de estos términos es $-1/(8n) + O(1/n^{5/3}).$ Por lo tanto, $\sum \sin a_n $ se desvía hacia $-\infty.$
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