Resolver la integral $\int_0^\infty x/(x^3+1) dx$

Question

Soy nuevo aquí.

El problema: integrar de cero a infinito x sobre la cantidad x al cubo más uno dx. He consultado en wolfram alpha y la respuesta es que la integral indefinida es esta:

$$\int \frac{x}{1+x^3} dx = \frac{1}{6}\left(\log(x^2-x+1)-2 \log(x+1)+2 \sqrt{3} \arctan((2 x-1)/\sqrt{3})\right)+\text{constant}$$

y la integral definida es esta:

$$\int_0^\infty \frac{x}{1+x^3} dx = \frac{2 \pi}{3 \sqrt{3}}\approx 1.2092$$

Estoy intentando averiguar todos los pasos intermedios. Veo que hay registros, que son equivalentes a la variante ln con la que estoy más familiarizado, lo que significa que estaba integrando $1/x$ en algún momento; también veo una tangente inversa ahí.

Empecé con la división larga para simplificar y obtuve (que puede estar mal porque estoy muy cansado ahora mismo) $x/(x^3+1) = x^2+ 1/(x^3+1)$ que parece ser un paso en la dirección correcta. Wolfram Alpha cree que definitivamente hice ese paso mal. Las dos ecuaciones no se evalúan como iguales.

Entonces hice trampa y tomé la factorización wolfram alfa de $(x^3+1) = (x+1)(x^2-x+1)$ ...probablemente debería haberlo sabido pero no lo hice de buenas a primeras. Ahora parece que $x^2$ más la descomposición parcial de la fracción $1/(x^3+1) = A/(x+1)+(Bx+C)/(x^2-x+1)$ . ¿Estoy yendo en la dirección correcta con esto? En este punto, ¿me limito a conectar y a hacer crujir?

Answer 1

Deberías hacer algo así:

$$ \displaystyle\frac{x}{x^{3}+1} = \frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^{2}-x+1} $$

$$ \displaystyle \implies Ax^{2}-Ax+A+Bx^{2}+Bx+Cx+C = x $$

$$ \implies (A+B)x^{2}+(-A+B+C)x+(A+C) = x $$

$$ \implies A+B = 0 $$ $$ -A+B+C = 1 $$ $$ A+C = 0 $$

$$ \implies B = C = -A \implies -3A = 1 \implies A = -\frac{1}{3} $$

Así que $$\int_{0}^{\infty}{\frac{x}{x^{3}+1}}dx = \int_{0}^{\infty}{\frac{-1}{3(x+1)}+\frac{1}{3}\frac{x+1}{x^{2}-x+1}}dx$$

Que es una integral mucho más fácil de resolver.