¿Cómo calcular la convergencia de esta función?

Question

Dadas $n$, hay alguna manera fácil para calcular la convergencia de esta suma.

$$\sum_{k=0}^\infty\dfrac{1}{^{n+k}C_n}$$

EDIT: También necesito encontrar en que valor esta serie converge.

Answer 1

Utiliza la repetición para el triángulo de Pascal, obtenemos $$\begin{align} \frac1{\binom{k-1}{n-1}}-\frac1{\binom{\vphantom{1}k}{n-1}} &=\frac{\binom{k-1}{n-2}}{\binom{k-1}{n-1}\binom{\vphantom{1}k}{n-1}}\[4pt] &=\frac{\frac{n-1}{n}}{\binom{\vphantom{1}k}{n}}\tag{1} \end {Alinee el} $$ Summing $(1)$ obtenemos $$\begin{align} \sum{k=0}^\infty\frac1{\binom{k+n\vphantom{1}}{n}} &=\sum{k=n}^\infty\frac1{\binom{k\vphantom{1}}{n}}\ &=\lim{m\to\infty}\sum{k=n}^m\frac1{\binom{k\vphantom{1}}{n}}\ &=\lim{m\to\infty}\frac{n}{n-1}\sum{k=n}^m\left[\frac1{\binom{k-1}{n-1}}-\frac1{\binom{\vphantom{1}k}{n-1}}\right]\ &=\lim_{m\to\infty}\frac{n}{n-1}\left[1-\frac1{\binom{\vphantom{1}m}{n-1}}\right]\tag{2} \end {Alinee el} $$ tanto como $n\gt1$, la serie converge a $\dfrac{n}{n-1}$.

Answer 2

Considerar el $k(\frac {ak}{a{k+1}}−1)=k(\frac {n+k+1}{k+1}−1)=\frac{kn}{k+1}→n$ si $k→∞$ por lo que la serie converge iff $n>1$ [por, prueba de Raabe. Ver también eso si $n=1$ $a_k=\frac1k$ la serie es divergente].