Encontré lo siguiente en unos apuntes de una conferencia que tomé hace tiempo:
$$ \mathbf{E}=-\text{grad}\Phi-\partial_t\mathbf{A}\\ \mathbf{B}=\mathrm{rot}\mathbf{A} $$
Son los campos electromagnéticos expresados en la forma potencial $A^{\mu}=(\Phi,\mathbf{A})$ .
Ahora me gustaría derivar las ecuaciones de Maxwell utilizando formas diferenciales. El potencial es un $1$ -la forma, el tensor de campo electromagnético $F_{\mu\nu}:=(dA)_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu$ es un $2$ -forma. Porque $d^2=0$ , $df=0$ por lo que las ecuaciones homogéneas de Maxwell se satisfacen automáticamente. Las no homogéneas son
$$ \partial_\nu F^{\nu\mu}=j^\mu $$
Distinguir entre $\mu=0$ y $\mu=i$ Esto se traduce en
$$ \begin{align} \rho = j^0 &= \partial_\nu(\partial^\nu A^0-\partial^0 A^\nu)\\ &= \partial_j\partial^j A^0- \partial_0\partial^j A^j\\ & \\ j^i &= \partial_\nu(\partial^\nu A^i-\partial^i A^\nu)\\ &= \partial_0\partial^0 A^i- \partial_0\partial^i A^0 + \partial_j\partial^j A^i- \partial_j\partial^i A^j\\ &= \partial_0(\partial^0 A^i-\partial^i A^0) + \partial_j\partial^j A^i- \partial^i\partial_j A^j \\ \end{align} $$
por lo que tenemos
$$ \begin{align} \rho &=\nabla(\color{red}{+}\nabla\Phi-\partial_t\mathbf{A}) \\ \mathbf{j} &=\partial_t(\partial^t\mathbf{A}-\nabla\Phi) + (\nabla^2)\mathbf{A}-\nabla(\nabla\cdot\mathbf{A})\\ &=\partial_t(\color{red}{-}\nabla\Phi+\partial^t\mathbf{A}) \color{red}{-}\nabla\times(\nabla\times\mathbf{A}) \end{align} $$
Pero las ecuaciones de Maxwell no homogéneas son
$$ \begin{align} \rho =\nabla\mathbf{E} &= \nabla(\color{red}{-}\nabla\Phi-\partial_t\mathbf{A}) \\ \mathbf{j} =-\partial_t\mathbf{E}+\mathrm{rot}\mathbf{B} & =\partial_t(\color{red}{+}\nabla\Phi+\partial^t\mathbf{A}) \color{red}{+} \nabla\times(\nabla\times\mathbf{A}) \end{align} $$
Así que me equivoqué en algunos signos, pero no veo por qué. Pensé que tal vez obtuve algunos signos erróneos debido a la mezcla de algunos índices superiores e inferiores (debido a la métrica de Minkowski), pero como los signos erróneos son en su mayoría con el $\Phi$ Dudo que esa sea la razón.
¿Alguna pista?
