Existencia de $\{a_{n}\} $ y $\{b_{n}\}$ tal que $a_{n}(a_{n}+1)|(b^2_{n}+1)$

Question

<blockquote> <p>Muestran que: existen dos secuencias $\{a_{n}\}$ y $\{b_{n}\}$ que son Monótonamente creciente (o $a_{n+1}>a_{n},b_{n+1}>b_{n},\forall n\in N^{+}$) y para cualquier entero positivo $n$ % $ $$a_{n}(a_{n}+1)|(b^2_{n}+1)$</p> </blockquote> <p>Asume $a_{n}=n$, pero se puede calcular $b_{n}$ para este caso.</p> <p>¿Cómo podemos probar la existencia?</p>

Answer 1

Supongamos que $b^2 + 1 = k\cdot a(a+1)$$k>1$. Podemos reescribir esto como sigue:

$$(2b)^2 - k(2a+1)^2 = -(k+4)$$

En otras palabras, el par $(2b,2a+1)$ es la solución a una generalización de la ecuación de Pell. Si podemos encontrar una solución para algunos fija (no cuadrados!) $k$, podemos encontrar una infinidad de.

Podemos empezar con el ejemplo más sencillo, $a=1$, $b=3$, que da $k=5$, y la solución de par $(6,3)$$6^2-5\cdot 3^2 = -9$.

También queremos encontrar la solución fundamental para $x^2-5y^2 = 1$, es decir,$(9,4)$.

Entonces podemos crear una secuencia con las propiedades deseadas simplemente la definición de $2b_n + (2a_n+1)\sqrt{5} = (6+3\sqrt{5})(9+4\sqrt{5})^n$$n\geq 0$.

(Para ver de que estas secuencias realmente satisfacen la ecuación original, se multiplica cada lado por su conjugado.)

Tenga en cuenta que $n=1$ da vadim123 del ejemplo. Neil ejemplos podrían ser utilizados para la construcción de una infinidad de soluciones para$k=13$$97$, respectivamente. Sería interesante determinar, por lo $k$ existe una solución, pero esto parece potencialmente difíciles.

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Sin entrar en detalles, podemos también definir estas dos secuencias por lineal sencillo recurrencias:

$$a_0 = 1, a_1 = 25, a_{n+2} = 18 a_{n+1} - a_n + 8$$ $$b_0 = 3, b_1 = 57, b_{n+2} = 18 b_{n+1} - b_n$$

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Otras observaciones:

Mediante el establecimiento de $a=1$, $b=2t+1$, podemos ver que cualquier $k=2t^2+2t+1$ produce una infinidad de soluciones. Esto explica los ejemplos de $k=5$$k=13$, y se prevé que no sea trivial ejemplos para $k=41$, pero no explica el $k=19$ ejemplo.

(De hecho, acabo de descubrir que el conjunto solución de una generalización de la ecuación de Pell puede tener más de una solución fundamental, por lo que el último párrafo en realidad no explicar de Neil $k=13$ ejemplo, sino que genera una especie de paralelo de la familia de ejemplos).

Para $k=41$, dicho sea de paso, el primer ejemplo no trivial es $5953 \cdot 5954 \mid (38121^2+1)$, lo que yo producida por la multiplicación de la $a=1$, $b=9$ solución $18+3\sqrt{41}$ por la solución fundamental a $5850 + 915\sqrt{41}$.