mapas diferenciables entre espacios topológicos, sin utilizar la idea de las variedades

Question

¿Es posible definir mapas diferenciables entre espacios topológicos, sin utilizar la idea de las variedades?

Answer 1

En un espacio topológico: no, no en una forma que es consistente con el significado común. Un auto-homeomorphism de $\mathbb R^2$ puede ser diferenciable: por ejemplo, $F(x,y)= (x,y+f(x))$ donde $f:\mathbb R^2\to\mathbb R^2$ es la función de Weierstrass. Si $\Phi:\mathbb R^2\to\mathbb R^n$ es un mapa diferenciable, entonces $\Phi\circ F$ es diferenciable: composición con $F $ destruye por completo la diferenciabilidad. Por otro lado, al ser un homeomorphism, $F$ conserva todas las propiedades que se pueden definir en términos de la topología. Por lo tanto, la diferenciabilidad no puede ser definido en términos de la topología.

Uno puede esperar mejores resultados con la métrica de los espacios, debido a que en muchos espacios (incluyendo todos los $\mathbb R^n$) cada métrica-la preservación de bijection del espacio es un diffeomorphism. Por lo tanto, un mapa de la preservación de la estructura métrica que también preserva la diferenciabilidad; esto da esperanza de que la estructura métrica puede capturar la diferenciabilidad. Y de hecho, las primeras derivadas de orden se puede hacer para trabajar en muchos métrica espacios que no son los colectores: ver la encuesta Nonsmooth Cálculo por Heinonen. El énfasis en este campo está en el primer orden débil derivados (en lugar de la clásica/pointwise derivados), que son más fuertes: por ejemplo, que sobreviven a un bi-Lipschitz cambio de la métrica. Por lo tanto, se puede trabajar con mapas diferenciables en espacios topológicos con una distinguida clase de equivalencia de métricas, equivalencia bi-Lipschitz. Este tipo de estructura se encuentra entre la métrica y espacios topológicos.