Demuestre la equivalencia de dos series infinitas sobre funciones de Bessel

Question

Las siguientes sumas aparecen en la teoría de la difracción y están relacionadas con la función de Lommel de dos variables. Sea $u,v\in\mathbb{R}$ . Afirmo que $$\sum_{n=0}^\infty i^n \left ( \frac{u}{v} \right )^n J_{n+1}(v)=\text{sign}(u)e^{iu/4}\sqrt{\frac{2\pi}{u}}\sum_{n=0}^\infty i^n (2n+1)J_{n+1/2}\left ( \frac{u}{4} \right )J_{2n+1}(v),$$ donde $J_a(b)$ es el J de Bessel.

¿Alguien puede demostrarlo?

El lado izquierdo está relacionado con la definición original de Lommel y el lado derecho fue derivado por Zernike y Nijboer en 1947 (publicado en 1949). Sin embargo, Zernike y Nijboer son poco detallistas.

La expansión en el lado derecho puede estar relacionada de algún modo con la expansión Bauer/Rayleigh: $$e^{ikr\cos\theta}=\sum_{n=0}^\infty i^n(2n+1)j_n(kr)P_n(\cos\theta),$$ donde $j_n$ es la j esférica de Bessel y $P_n$ es el $n$ polinomio de Legendre.

Además, he añadido el $\text{sign}(u)$ para hacer que las cosas encajen numéricamente. La expresión publicada por Boersma (de donde saqué las expresiones) le falta el signo y no parece funcionar para u negativo.

Answer 1

Introduzcamos un núcleo integral $$K(v,\theta)=\frac{v}{4}\,J_0\left(v\sin\frac{\theta}{2}\right),\qquad \theta\in[0,\pi].$$ La prueba de su fórmula se reduce a dos identidades que implican $K(v,\theta)$ .

Lema . Para $n\in\mathbb{Z}_{\ge0}$ se tiene \begin{align*}\displaystyle J_{2n+1}(v)&=\int_0^{\pi}K\left(v,\theta\right)P_n\left(\cos\theta\right)\sin\theta\,d\theta,\tag{A}\\ v^{-n}J_{n+1}(v)&=\int_0^{\pi}K\left(v,\theta\right)\frac{\cos^{2n}\frac{\theta}{2}}{2^n n!}\,\sin\theta\,d\theta.\tag{B} \end{align*}

---

En efecto, sustituyendo (A) en el lado derecho de su fórmula y utilizando la expansión de ondas planas de Rayleigh, obtenemos (suponiendo que $u>0$ ) \begin{align*} \text{R.H.S.}&=e^{iu/4}\sqrt{\frac{2\pi}{u}}\sum_{n=0}^\infty i^n (2n+1)J_{n+1/2}\left ( \frac{u}{4} \right )J_{2n+1}(v)\stackrel{\color{green}{\text{(A) and Rayleigh}}}{=}\\ &=\int_0^{\pi}K\left(v,\theta\right)e^{iu\left(1+\cos\theta\right)/4}\sin\theta\,d\theta\;\;\;\quad\stackrel{\color{blue}{\text{expand in }u}}{=}\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}i^nu^n\int_0^{\pi}K\left(v,\theta\right)\frac{\cos^{2n}\frac{\theta}{2}}{2^n n!}\,\sin\theta\,d\theta\;\stackrel{\color{red}{\text{use (B)}}}{=}\\ &=\sum_{n=0}^\infty i^n \left ( \frac{u}{v} \right )^n J_{n+1}(v)=\\ &=\text{L.H.S.} \end{align*}

---

Demostración del lema :

Por ejemplo, para demostrar (B), expande el lado derecho en potencias de $v$ utilizando la representación en serie de $J_0(z)$ . Los coeficientes correspondientes vendrán dados por integrales respecto a $\theta$ que puede expresarse en términos de la función beta de Euler tras el cambio de variables $t=\sin^2\frac{\theta}{2}$ . Basta entonces con compararlos con los coeficientes de la expansión de $v^{-n}J_{n+1}(v)$ .

La prueba de (A) es análoga: expande el lado derecho en potencias de $v$ calcula las integrales correspondientes e identifícalas con los coeficientes del lado izquierdo. $\blacksquare$