¿Por qué es la paridad del wavefunction espacial $(-1)^{\ell}$?

Question

Considere una partícula compuesta estado $|\psi\rangle$ (como un hadrón o un mesón) que es un eigenstate de algunos de Hamilton (por ejemplo, la QCD Hamiltoniano). Desde el Hamiltoniano es invariante bajo rotaciones y la paridad de esta partícula estado es también un eigenstate del momento angular y de la paridad del operador: $$L^2 |\psi\rangle = l(l+1)|\psi\rangle$$ $$P |\psi\rangle = (-1)^{a}|\psi\rangle$$

donde $a$ es un número entero. ¿Por qué es $a = l$?

Para que dos partículas, que uno puede usar el "truco" para transformar en coordenadas relativas y, a continuación, encontrar que en coordenadas relativas de la eigenfunction es $\sim Y_{lm}$. La paridad de los armónicos esféricos, a continuación, conduce a $(-1)^l$.

No veo cómo extender esta a 3 o más partículas.

EDITAR: Yo tenía una idea de cómo ampliar a 3 partículas:

Para 3 de las partículas de la Hamiltoniana parece: $$H = \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2} + \frac{p_3^2}{2m_3} + V_1(|x_2-x_1|) + V_2(|x_3-x_1|) + V_3(|x_3-x_2|)$$.

Ahora elija las nuevas coordenadas por $$R = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + m_3 x_3}{M}$$ $$y = x_2 - x_1$$ $$z = x_3 - x_1$$

El Hamiltoniano se convierte en: $$H = \frac{p_R^2}{2M} + \frac{p_y^2}{2\mu_{12}} + \frac{p_z^2}{2\mu_{13}} + \frac{p_y\cdot p_z}{m_1} + V_1(|y|) + V_2(|z|) + V_3(|z-y|)$$ donde $\frac{1}{\mu_{ij}} = \frac{1}{m_i} + \frac{1}{m_j}$ se reducen las masas

El total de momento angular está dada por $$L = x_1 \times p_1 + x_2 \times p_2 + x_3 \times p_3 = R \times p_R + y \times p_y + z \times p_z$$.

El $l$ en la paridad $ = (-1)^l$ está dado por el momento angular intrínseco $$L_i = y \times p_y + z \times p_z$$ que conmutan con el Hamiltoniano.

Por lo tanto, un eigenfunction está dado por $$|\psi(y,z)\rangle = |f(|y|,|z|)\rangle |L M\rangle_{\hat{y}\hat{z}}$$. El uso de Clebsch-Gordan coeficientes de este angular puede ser escrita como: $$|L M\rangle_{\hat{y}\hat{z}} = \sum_{m m'} \langle lm,l'm'|LM\rangle Y_{lm}(\hat{y}) Y_{l'm'}(\hat{z})$$ for some $l$ and $l'$

El general de paridad está dado por $(-1)^{l + l'}$ que no necesariamente es igual a $(-1)^L$. Por ejemplo, $l = l' = 1$ llevaría a una (desde mi punto de vista válido) solución: $$|10\rangle_{\hat{y}\hat{z}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left(Y_{11}(\hat{y})Y_{1-1}(\hat{z}) - Y_{1-1}(\hat{y})Y_{11}(\hat{z})\right)$$ con la paridad $(-1)^{l+l'} = (-1)^{1+1} = 1 \neq (-1)^1 = (-1)^L$.

Debe haber algo que excluye a tales combinaciones. ¿Por qué esta solución no es válida?

Answer 1

$\def\br{\mathbf r} \def\bR{\mathbf R} \def\bl{\mathbf l} \def\bL{\mathbf L}$

Considere una partícula compuesta estado $|\psi\rangle$ (como un hadrón o un mesón)

No veo de donde la has de tener en cuenta la partícula compositeness, ni que tenía. En realidad, este general QM importa - no es necesario traer hasta QCD o similares.

Para una partícula en un potencial fijo de su argumento de esférica los armónicos se aplica. Para dos partículas que interactúan el uno con el otro pero de otra manera libre, el mismo argumento se aplica a las coordenadas relativas.

Por tres partículas (o más) de seguir el mismo camino, sólo que con un algo mayor complicación. Elegir (con prudencia) dos de los partículas, presentar sus c.o.m. G, entonces c.o.m. de la G y la tercera de partículas. Por lo tanto se tienen dos vectores de posición: $\br$, pasando de la partícula 1 a la partícula 2, y $\bR$, pasando de la G a la partícula de 3.

Se puede demostrar que la energía cinética se divide en dos términos, uno dependiendo únicamente de la $\br$ y el otro en $\bR$. Entonces usted puede elegir un base de funciones propias de dos angular momenta, decir $\bl^2, l_z$y $\bL^2, L_z$. Usted ve que el total de la función de onda tiene paridad $(-1)^{l+L}$. Esto es bastante difícil, ya que uno podría erróneamente que ser dibujado a creer paridad depende total momentum angular, mientras que no es así: depende de la suma de separar números cuánticos.

He hablado sólo de la energía cinética, pero, por supuesto, en el fin de la paridad puede ser un útil de número cuántico de energía potencial (o de la interacción de lagrange en QFT) son invariantes bajo el espacio de reflexiones.

Answer 2

$\def\bL{\mathbf L} \def\bl{\mathbf l} \def\bp{\mathbf p} \def\br{\mathbf r} \def\bP{\mathbf P} \def\bR{\mathbf R} \def\frac#1#2{{\estilo de texto {#1 \over #2}}} \def\mitad{\frac12}$ Con el fin de responder a sus objeciones es mejor para mí escribir algunas las ecuaciones. Como comentario general: usted no debe pensar en un cambio de el marco de referencia, pero sólo de expresar las cantidades (hamilton, momento angular) en términos de las nuevas coordenadas. Vamos a ver cómo.

Voy a asumir que todos los mases son iguales, sólo para hacer fórmulas más simple. Pero usted puede comprobar que el argumento es bastante general. En el de otro lado, es un tradicional enfoque, conocido como Jacobi del coordina y ampliamente utilizado en la celeste mechnics más o menos desde la a mediados del siglo 19.

Llame a $\br_1$, $\br_2$, $\br_3$, los vectores de posición de los tres las partículas. Definir $$\bR = {\textstyle {1 \over 3}} (\br_1 + \br_2 + \br_3)$$ $$\br= \half (\br_1 + \br_2) - \br_3.$$ $$\br' = \br_2 - \br_1$$ Energía cinética: $$K = \media\,m \left(3\,\dot\bR^2 + \frac23 \dot\br^2 + \mitad {\dot\br'}^2\right).$$ Conjugar los ímpetus: $$\bP = 3\m\,\dot\fr \qquad \bp = \frac23 m\,\dot\fr \qquad \bp = \mitad m\,\dot\br'$$ $$K = {P^2 \over 6\,m} + {3\,p^2 \over 2\,m} + {{p'}^2 \over m}.$$ Momento Angular: $$\bL_{\mathrm{tot}} = \fr \times \bP + \fr \times \bp + \br' \times \pb' = \bL + \bl + \bl'.$$ Los conmutadores son los esperados para canónica coordinateses $\bR$con $\bP$, $\br$ con $\bp$, $\br'$ con $\bp'$.

La paridad del número cuántico se refiere a la transformación $$\br \to - \br \qquad \br' \to -\br'$$ y, en consecuencia, $$\bp \to - \bp \qquad \bp' \to -\bp'.$$ Autoestados de $\bl^2$, $\bl'^2$ paridad $(-1)^{l+l'}$ y veo que se puede decir lo mismo, aunque con diferentes coordenadas (que, por cierto, da lugar a una no-separables de hamilton).

Lo que no puedo entender es por qué usted está preocupado con su ejemplo. Usted construyó un estado interno de momento angular 1, $z$-componente 0, a partir de de los estados con $l=l'=1$, luego de paridad +. Qué tiene de malo eso? Es un perfectamente posible situación.