Límite de convexidad de la función L de Rankin-Selberg

Question

Dejemos que $f,g$ sean formas modulares primitivas de niveles arbitrarios $N_1,N_2$ , nebentypus triviales y el mismo peso $k$ . Sea $L(f\otimes g,s)=\zeta(2s)\sum_{n\geq1}\frac{\lambda_f(n)\lambda_g(n)}{n^s}$ sea la función L de Rankin-Selberg donde $\lambda_f$ y $\lambda_g$ son los respectivos valores propios de Hecke normalizados.

Estoy buscando un límite superior simple de $L(f\otimes g,\frac12+it)$ en el aspecto del nivel que se mantiene bajo los supuestos generales dados anteriormente. En casi toda la literatura sobre límites de subconvexidad (por ejemplo, en la introducción de "Rankin Selberg L-functions in the level aspect" de Kowalski, Michel, Vanderkam) se insinúa que el límite de convexidad ( $\sqrt N$ en el aspecto del nivel, $k$ en el aspecto del peso) se consigue aplicando el principio de Phragmén-Lindelöf. Por lo que he entendido, esto requiere otro límite de la función en los bordes de la franja vertical $0<\Re(s)<1$ . Así que mis preguntas son

• ¿Existe una prueba elemental para este problema?
• ¿Qué límites puedo utilizar para $L(f\otimes g, 1)$ ?
• ¿Cómo me ocupo de los residuos en $s=1$ para $f=\overline{g}$ ?

Answer 1

Para dar una breve respuesta que se puede encontrar en "Analytic Number Theory" de Iwaniec y Kowalsky:

Utilizamos la convergencia absoluta de $L(f,s)$ en $\sigma>1$ (o el límite $|\lambda(n)|\leq \tau(n)$ ), la ecuación funcional, la estimación de Stirling para la función gamma y el principio de convexidad de Phragmen-Lindelöf.

Todas las fórmulas mencionadas se pueden encontrar también en el libro.