Prueba $\int^{\infty}_{-\infty}\frac{1}{(x^2+x+1)^3}dx=\frac{4\pi}{3\sqrt3}$ .

Question

No tengo ni idea de cómo hacer esta pregunta.

Me han dado $\int^{\infty}_{-\infty}\frac{1}{x^2+2ax+b^2}dx=\frac{\pi}{\sqrt{b^2-a^2}}$ si $b>|a|$ y se me pide que pruebe $\int^{\infty}_{-\infty}\frac{1}{(x^2+x+1)^3}dx=\frac{4\pi}{3\sqrt3}$ .

Lo que he probado:

$\int^{\infty}_{-\infty}\frac{1}{(x^2+x+1)}dx=\frac{2\pi}{\sqrt3}$ . He probado a poner una variable como potencia, es decir $I(r)=\int^{\infty}_{-\infty}\frac{1}{(x^2+x+1)^r}dx$ pero diferenciando el interior con respecto a $r$ no parece formar ninguna ecuación diferencial que se pueda resolver.

Se agradecen las respuestas y los consejos.

Answer 1

Diferenciar con respecto a $b$ da $$\dfrac{d}{db}\int^{\infty}_{-\infty}\frac{1}{x^2+2ax+b^2}dx=\dfrac{d}{db}\frac{\pi}{\sqrt{b^2-a^2}}$$ $$\int^{\infty}_{-\infty}\frac{-2b}{(x^2+2ax+b^2)^2}dx=\frac{-2b\pi}{2\sqrt{(b^2-a^2)^3}}$$ o $$\int^{\infty}_{-\infty}\frac{1}{(x^2+2ax+b^2)^2}dx=\frac{\pi}{2\sqrt{(b^2-a^2)^3}}$$ y otra derivada da el siguiente resultado $$\int^{\infty}_{-\infty}\frac{1}{(x^2+2ax+b^2)^3}dx=\frac{3\pi}{8\sqrt{(b^2-a^2)^5}}$$ ahora tienes la respuesta con $a=\dfrac12$ y $b=1$ .

Answer 2

De verdad $x$ tenemos $x^2 + x + 1 = (x+\frac12)^2 + \frac34 \ge \frac34$ .

Esto implica que para cualquier $t \in (0,\frac34)$ tras la expansión en $t$ converge:

$$\frac{1}{x^2+x+1 - t} = \sum_{k=0}^\infty \frac{t^k}{(x^2 + x + 1)^{k+1}}$$

Como todo en el lado derecho es no negativo, por Tonelli podemos integrarlos término a término:

$$\int_{-\infty}^\infty \frac{dx}{x^2+x+1 - t} = \sum_{k=0}^\infty t^k \int_{-\infty}^\infty \frac{dx}{(x^2+x+1)^{k+1}} $$ Establecer $a = \frac12$ y $b = \sqrt{1-t}$ . Aviso $b > |a|$ la fórmula que tienes nos dice que la integral en el lado izquierdo es

$$\frac{\pi}{\sqrt{b^2 - a^2}} = \frac{\pi}{\sqrt{\frac34 - t}} = \frac{2\pi}{\sqrt{3}\sqrt{1 - \frac{4t}{3}}}$$

Recall $\displaystyle\;\frac{1}{\sqrt{1-4s}}$ es la función generadora de los coeficientes del binomio central:

$$\frac{1}{\sqrt{1-4s}} = \sum_{k=0}^\infty \binom{2k}{k} s^k$$

Esto lleva a

$$\sum_{k=0}^\infty t^k \int_0^\infty \frac{dx}{(x^2+x+1)^{k+1}} = \frac{2\pi}{\sqrt{3}}\sum_{k=0}^\infty \binom{2k}{k}\frac{t^k}{3^k} $$ Comparando los coeficientes de $t^k$ en ambos lados, obtenemos

$$\int_{-\infty}^\infty \frac{dx}{(x^2+x+1)^{k+1}} = \frac{2\pi}{3^k\sqrt{3}}\binom{2k}{k}\quad\text{ for } k \in \mathbb{N} $$

En particular, para $k = 2$ Esto nos da

$$\int_{-\infty}^\infty \frac{dx}{(x^2+x+1)^3} = \frac{2\pi}{3^2\sqrt{3}}\binom{4}{2} = \frac{4\pi}{3\sqrt{3}}$$

Answer 3

Para cualquier $A>0$ tenemos $\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dz}{z^2+A} = \frac{\pi}{\sqrt{A}}$ Por lo tanto, aplicando $\frac{d^2}{dA^2}$ a ambos lados obtenemos $$ \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dz}{(z^2+A)^3}=\frac{3\pi}{8A^2\sqrt{A}}.\tag{1} $$ Por otro lado $$ \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{(x^2+x+1)^3}\stackrel{x\mapsto z-\frac{1}{2}}{=}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dz}{\left(z^2+\tfrac{3}{4}\right)^3}=\frac{4\pi}{3\sqrt{3}}.\tag{2}$$

Answer 4

$$I(r)=\int_{-\infty}^{\infty} \frac {dx}{\left(\left(x+\frac 12\right)^2+\frac 34\right)^r}=\int_{-\frac 12}^{\infty} \frac {dx}{\left(\left(x+\frac 12\right)^2+\frac 34\right)^r}+\int_{-\infty}^{-\frac 12} \frac {dx}{\left(\left(x+\frac 12\right)^2+\frac 34\right)^r}$$

Sustituir $x+\frac 12=u$

$$I(r)=\int_0^{\infty} \frac {du}{\left(u^2+\frac 34\right)^r}+\int_{-\infty}^0 \frac {du}{\left(u^2+\frac 34\right)^r}$$

Como el integrando es par obtenemos $$I(r)=2\int_0^{\infty} \frac {du}{\left(u^2+\frac34\right)^r}=\frac {2\cdot 4^r}{3^r} \int_0^{\infty} \frac {du}{\left(\frac {4u^2}{3}+ 1\right)^r}$$

Al sustituir $\frac {4u^2}{3}=t$ obtenemos $$I(r)=\frac {2\cdot 4^{r-1}}{3^{r-\frac12}} \int_0^{\infty} \frac {t^{-\frac 12} dt}{(1+t)^r}$$

Ahora, utilizando la definición de Función beta y su relación con la función Gamma obtenemos $$I(r)=\frac {2\cdot 4^{r-1}}{3^{r-\frac12}} B\left(\frac 12,r-\frac 12\right) =\frac {2\cdot 4^{r-1}}{3^{r-\frac12}} \frac {\Gamma\left(\frac 12\right)\Gamma\left(r-\frac 12\right)}{\Gamma(r)}=\frac {2\cdot 4^{r-1}}{3^{r-\frac12}} \frac {\sqrt {\pi}\cdot \Gamma\left(r-\frac 12\right)}{\Gamma(r)}$$

En general se puede demostrar que $$I(a,b,r)=\int_{-\infty}^{\infty} \frac {dx}{(x^2+2ax+b^2)^r} = \frac {\sqrt {\pi}\cdot\Gamma\left(r-\frac 12\right)}{\Gamma(r)} \left(\frac {1}{b^2-a^2}\right)^{r-\frac 12}$$ si $\vert b\vert \gt \vert a\vert$