¿Otras maneras de encontrar un límite donde el denominador produce $0$, además de factorización y cancelación?

Question

Así que me llegó a través de un aparentemente inocente mirando integral: $$\int_{-2}^1 \frac{1}{x^2}dx$$ Ahora, por supuesto, al tomar la antiderivada, a continuación, conectar en los valores, podemos ver que obtenemos un valor distinto de cero/$0$ , lo cual ocasiona problemas (debido a que la función es discontinua). Ahora para solucionar esto podemos dividir la integral en dos límites, tanto tienden a $0$ desde cualquiera de los lados: $$\left(\lim_{b\to0^-} \int_{-2}^b \frac{1}{x^2}dx\right) + \left(\lim_{a\to0^+} \int_{a}^1 \frac{1}{x^2}dx\right)$$ Esto podría, en teoría, resolver el problema, excepto por un problema, el mismo número: cero/$0$ al enchufar los números a la integral del límite.
Así que, naturalmente, me dije a tratar y el factor de alguna manera, pero dentro de un par de segundos, se hizo evidente que no era posible. De modo que la integral de la $\int_{-2}^1 \frac{1}{x^2}dx$diverge
Ahora me pregunto, ¿hay alguna manera de resolver un límite donde el denominador produciría $0$, además de la factorización y cancelación?

tl;dr: Un límite produce $0$ en el denominador y es unfactorable (en el sentido de que no se puede cancelar la parte inferior de la duración). Hay alguna manera de solucionarlo, el uso de otro método además de factorización y cancelación?

Answer 1

Cuando usted está tomando un límite donde el denominador acerca a cero y no el numerador, puedes Obtén la divergencia, <span class="math-container">$\infty,-\infty$</span> o indefinido.

Por el contrario si parte superior e inferior acercan a cero y no puede factor y cancelar, puede tomar derivados y aplicar la regla de L'Hospital.

Si el límite es demasiado complicado un instrumento gráfica puede ayudar a darle algunas ideas.

Answer 2

Yo no veo ningún problema que puede surgir a partir de la división por cero. No hay un solo momento en que realmente puede suceder en este problema ($x$ nunca llega a cero, sólo se le aproxima. Por lo tanto, una división por cero situación es no sólo posible):

$$ \lim_{b\to0^-} \int_{-2}^b \frac{1}{x^2}dx + \lim_{un\to0^+} \int_{a}^1 \frac{1}{x^2}dx=\\ \lim_{b\to0^-}\left[-\frac{1}{x}\right]\Big|_{-2}^{b} + \lim_{un\to0^+} \left[-\frac{1}{x}\right]\Big|_{a}^{1}=\\ \lim_{b\to0^-}\left(-\frac{1}{b}-\frac{1}{2}\right) + \lim_{un\to0^+} \left(-1+\frac{1}{a}\right)=\\ $$

Desde $\lim\limits_{b\to{0^-}}\left(-\frac{1}{b}\right)=\infty$ e $\lim\limits_{a\to{0^+}}\left(\frac{1}{a}\right)=\infty$, tenemos:

$$ \infty-\frac{1}{2}-1+\infty=\infty $$