Pontryagin Plaza de la computación

Question

Supongamos $v$ es $\mathbb{Z}_2$ cochain en una de cuatro dimensiones spin colector $M$, es decir, $v\in H^1(M, \mathbb{Z}_2)$. Estoy interesado en la evaluación de la cantidad $$\exp \bigg(i \frac{\pi}{2}\int_M \mathcal{P}_2 (v\cup v)\bigg)$$ donde $\mathcal{P}_2$ es el Pontryagin plaza de mapas de $H^2(M, \mathbb{Z}_2)$ a $H^4(M, \mathbb{Z}_4)$.

Mis preguntas son:

Es la cantidad anterior, en general, toma el valor de $\pm 1$? Yo creo que sí, porque desde $M$ es un spin colector, cualquier $\int_{M} \mathcal{P}_2 (v\cup v)$ es un entero par, por lo $\int_{M} \frac{\mathcal{P}_2 (v\cup v)}{2}\in \mathbb{Z}$ es un número entero. Por lo tanto $\exp(i \pi \mathbb{Z})=\pm 1$ sigue.

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Si lo anterior es correcto, tenemos la siguiente expresión? $$\int_{M} \mathcal{P}_2 (v\cup v)=2\int_{M} v\cup v\cup v\cup v\mod 4$$

Gracias de antemano!

Answer 1

1) El quantitity $\int \mathcal P_2(v \smile v)$ no es un número entero. Es un elemento de $\Bbb Z/4$. La razón por la que todavía tiene sentido escribir $\exp(i \frac \pi 2 x)$ donde $x \in \Bbb Z/4$ es que $\exp$ es $2\pi i$-periódico; si tenemos que elegir dos representantes de la $n, n' \in \Bbb Z$ que reducir a $x$ modulo $4$, el término $i \frac \pi 2 n$ e $i \frac \pi 2 n'$ difieren en un múltiplo de $2\pi i$. Así las exponenciales son los mismos.

2) Si $M$ es una orientada, incluso de dimensiones múltiples, a continuación, el mapa de $H^1(M;\Bbb Z/2) \to H^{2n}(M;\Bbb Z/2)$ dado por $v \mapsto v^{2n}$, es idéntica a cero. Para ver esto, vamos a utilizar las propiedades de la primera Steenrod plaza. (Puede que esté más familiarizado con $\text{Sq}^1$ bajo el nombre de "Bockstein mapa de $H^k(Y;\Bbb Z/2) \to H^{k+1}(Y;\Bbb Z/2)$".)

El uso de la Cartan fórmula, uno puede identificar de forma inductiva $$\text{Sq}^1(v^k) = \begin{cases} v^{k+1} & k \text{ odd},\\ 0 & k \text{ even}. \end{casos}$$ In particular, we may identify $\text{Sq}^1(v^{2k-1}) = v^{2k}$. At the same time, there is a cohomology class on a manifold $M$, known as the first Wu class $v_1$, with the property that if $x \in H^{2n-1}(M;\Bbb Z/2)$, we have $$x \smile v_1 = \text{Sq}^1(x).$$

La aplicación de esta definición a $x = v^{2n-1}$ anterior, vemos que si $v^{2n} \neq 0$, necesariamente, Wu clase $v_1 \neq 0$. Al mismo tiempo, uno de los otros crucial propiedades de Wu clases que, en particular, $v_1 = w_1$, la primera Stiefel-Whitney clase, que regula orientability. Así que si $v_1 \neq 0$, su colector es no orientable. Esto demuestra el deseado de reclamación.

En particular, en su caso, $v^4 = 0$.

3) Por $x \in H^2(M;\Bbb Z/2)$, la plaza de Pontryagin $\mathcal P_2(x)$ satisface la propiedad de que la $\mathcal P_2(x) \pmod 2 = x^2 \in H^4(M;\Bbb Z/2)$. En particular, $\mathcal P_2(v^2) \equiv v^4 \pmod 2$, e $v^4 = 0$. Por lo tanto, $\mathcal P_2(v^2)$ debe ser $0$ o $2$ en $H^4(M;\Bbb Z/4) \cong \Bbb Z/4$. Este es, precisamente, la afirmación de que $$\exp\left(i \frac{\pi}{2} \int \mathcal P_2(v^2)\right) \in \pm 1.$$

4) Su expresión final no tiene sentido. $v^4$ vive en $H^4(M;\Bbb Z/2)$ y en ningún otro lugar. Y si $M$ es orientable, vimos anteriormente que esta clase es cero.

Tenga en cuenta que nada aquí ¿puedo usar ese $M$ es girar, sólo orientable.