Un curioso fenómeno por el cúbicos diophantine $x^3+y^3+z^3 = 1$?

Question

Dado enteros positivos $a,b,c$,

$$a^3+b^3 = c^3\pm1\tag{1}$$

entonces hay exactamente 133 soluciones con $c<10^6$. (Wroblewski tiene tablas para el general $x_1^3+x_2^3+x_3^3+x_4^3 = 0$ con todos los términos de $<10^6$.) Las primeras veinticuatro de $(1)$,

$$\begin{array}{cccc} |t|&a&b&c\\ 1&6&8&\color{red}{9}\\ 1&10&\color{red}{9}&12\\ -&64&94&103\\ 2&71&\color{blue}{138}&\color{red}{144}\\ 2&73&\color{red}{144}&150\\ -&\color{blue}{135}&\color{blue}{138}&172\\ -&\color{blue}{135}&235&249\\ -&334&438&495\\ -&372&\color{blue}{426}&505\\ -&\color{blue}{426}&486&\color{blue}{577}\\ 3&242&720&\color{red}{729}\\ 3&244&\color{red}{729}&738\\ -&566&823&904\\ -&791&812&\color{blue}{1010}\\ -&236&1207&1210\\ -&368&1537&1544\\ -&1033&1738&1852\\ -&\color{blue}{1010}&1897&1988\\ 4&575&2292&\color{red}{2304}\\ 4&\color{blue}{577}&\color{red}{2304}&2316\\ -&1938&2820&\color{blue}{3097}\\ 1&2676&3230&\color{red}{3753}\\ -&\color{blue}{3097}&3518&4184\\ 1&\color{red}{3753}&4528&5262\\ \end{array}$$

Los pares de números rojos son causadas por dos identidades, en su mayoría,

$$(1 - 9t^3)^3 + \color{red}{(9t^4)}^3 + (3t - 9t^4)^3=1$$

para $|t|=1-4$, y el último par,

$$(1+9t^3+648t^6-3888t^9)^3 + \color{red}{(-135t^4+3888t^{10})}^3 + (-3t-81t^4+1296t^7-3888t^{10})^3 = 1$$

El valor absoluto de a $t$ es dado en la tabla de arriba, con una señal de dar una solución, y el signo opuesto de la otra. (El medio plazo no se modifica.) Hay un infinito más polinomio identidades, pero sus grados y los coeficientes de obtener más y más grande, y sus primeras manifestaciones han $c$ más allá de este rango.

Pregunta: Entonces, ¿qué hace los pares de números azules?

Si usted ampliar esta tabla para cubrir todas 133 soluciones, hay muchos más azul pares. Quiero saber cómo otros se acercan a este problema, o si originalmente se descartan como mera coincidencia. (No, de verdad.)

P. S. he encontrado este "maridaje", teniendo en cuenta las asymptotics de las soluciones a $(1)$, discutido en este post.

Answer 1

Desde recompensa ha terminado, bien podría responder a esta pregunta para aquellos que son curiosos. Algunos de los blue pares de números pertenecen a la identidad,

$$(1 - a c + b c)^3+(a + c^2 - a c^3)^3+(a c^3 - b - c^2)^3 =1\tag{1}$$

donde,

$$a^2+ab+b^2 = 3c(ac-1)^2\tag{2}$$

o desde la $(2)$ es una ecuación cuadrática en $b$,

$$b=\frac{1}{2}\Big(-a\pm\sqrt{a^2-4\big(a^2-3c(ac-1)^2\big)}\Big)\tag{3}$$

Desde el medio plazo de $(1)$ no contiene $b$, se mantiene sin cambios, independientemente de que el signo de $(3)$ es elegido. Por ejemplo, supongamos $a,c = -570,\, 12/19$ y utilizando el signo + de $(3)$ rendimientos,

$$505^3+(\color{blue}{-426})^3+(-372)^3 = 1$$

$$577^3+(\color{blue}{-426})^3+(-486)^3 = 1$$

Hacer el discriminante de $(3)$ un cuadrado,

$$a^2-4\big(a^2-3c(ac-1)^2\big) = y^2\tag{4}$$

en los enteros también se puede hacer. Dada una solución inicial, entonces se puede utilizar una ecuación de Pell para generar un infinito más.

Mucho después, pero no todos, de los azules pares puede ser explicado por dos signos de $(3)$ rendimiento términos enteros a $(1)$. Tal vez el resto es pura coincidencia. A continuación, de nuevo, tal vez no.