Cuando pienso en un espacio vectorial, me gusta ver como espacios de parámetros. Aunque finito dimensionales espacios han sido generalizados a los espacios de Banach, veo a espacios de funciones como la mejor generalización, al menos de forma heurística, para un espacio de parámetros. Dada la función de espacio de $L^p(X,\Omega,\mu)$, por simplicidad $L^p(X)$, el conjunto de Dirac del deltas en cada punto funciona como una especie de base canónica, por lo que cuando se seleccione una función, estamos especificando alguna manera $|X|$ número de parámetros; $|X|$ es la cardinalidad de a$X$. Mi primera pregunta es: ¿son suficientes y necesarias condiciones para un espacio de Banach a ser una función del espacio?
Para ser más precisos:
- Cuando es un espacio de Banach $B$ isométrica a una parte del espacio de $L^p(X)$? (isométrica de la representación)
- Cuando hay un isomorfismo lineal entre $B$ y algunos $L^p(X)$, es decir, un operador lineal $A:B\to L^p(X)$ tal que $c\lVert x\rVert_B\le \lVert Ax\rVert_{L^p}\le C\lVert x\rVert_B$? (continua en la representación)
- Cuando hay un espacio de $X$ y un continuo operador $A:C_c(X)\to B$, de tal manera que $A$ es de 1-1 y la imagen de $A$ es densa? $C_c(X)$ es el espacio de forma compacta las funciones soportadas en $X$; podemos dotar con la topología usual. (débil de la representación)
La definición que más me gusta es la tercera, creo que es el más débil. Las dos primeras definiciones implican $L^p$ espacios, y ellos no son la única función de los espacios, por lo que estas definiciones son incompletas. Puede usted imaginar una disminución en la manera de representar un espacio de Banach?
Si $B$ es un espacio de Hilbert, tomar un ortonormales de expansión, por lo que cada vector es $f=\sum_{i\in I} f(i)e_i$ y tenemos una representación isométrica con $L^2(I)$, pero este no es el más atractivo de la representación, y que deja con más preguntas. ¿Qué podemos decir acerca de $X$?
Si usted toma $L^2(\mathbb{R}^n)$, puede utilizar una partición de la unidad y de la serie de Fourier para escribir cada una de las funciones $f$ como una suma $\sum_{i\in I} f(i)e_i$, donde $I$ es contable y el $e_i$ formulario de una base ortonormales. Pero, ¿cuál es entonces la diferencia entre lo $L^2(\mathbb{R}^2)$ e $L^2(\mathbb{R})$? No la estructura del espacio de $X$ importa? Me siento incómoda.
Muchas veces en mi trabajo me he encontrado con operadores como $A:L^p(X)\to L^q(Y)$, donde $X$ e $Y$ son espacios topológicos de las dimensiones de $N$ e $M$, respectivamente; por simplicidad, supongamos que $A$ es inyectiva. De forma heurística que se aplican el finito dimensionales de la lógica, de tomar, por ejemplo, $N=M$, y pienso: el cokernel de $A$ es como un "pequeño" de la función de espacio, en comparación con $X$ o $Y$, más de un espacio topológico $Z$ de la dimensión de $<M$. Y estoy "siempre" a la derecha, hasta puedo adivinar propiedades de la función de espacio de $Z$, como $\text{dim}(Z)$, de propiedades topológicas de $X$ e $Y$. Entonces, ¿qué ocurre con $L^2(\mathbb{R}^n)$? Podemos, en virtud adicional de la asunción, a probar una clase de la invariancia del dominio teorema de la función de los espacios? Puede ayudar al lector a pensar sobre el operador $\iota:C_c(\mathbb{R})\to C_c({\mathbb{R}^2})$, dado por $\iota f(x,y)\mapsto f(x)\varphi(y)$, donde $\varphi$ es compatible cercano a cero, y el cociente $C_c({\mathbb{R}^2})/\iota C_c(\mathbb{R})$; podemos pensar que la dimensión de la cokernel es "$\mathbb{R}^2-\mathbb{R}\approx \mathbb{R}^2$".
