Suponga $b>0$. Si $b<0$ hacer un cambio de variables $y'=-y$. Deje $d=\gcd(a,b)$, a continuación, $d$ debe dividir $c$ el fin de reducir el $\{a,b,c\}$ a $\{a/d,b/d,c/d\}$. Por lo tanto asumimos que $\gcd(a,b)=1$.
Siguiente, supongamos $d = \gcd(b,c)$. Entonces a partir de la $\gcd(a,b)=1$, $d$ debe dividir $x^2$. Deje $d=u^2v$ , de modo que $v$ es squarefree, a continuación, $x$ debe ser de la forma $x=uvw$ para algunos entero $w$, por lo que podemos sustituir la ecuación con
$$
\begin{align}
ax^2 + by + c &= 0\\
a\frac{u^2v^2w^2}{d} + \frac{b}{d} y + \frac{c}{d} &= 0\\
(av) w^2 + (b/d) y + (c/d) &= 0
\end{align}
$$
Así que reemplace $\{a,b,c\}$ por $\{av,b/d,c/d\}$.
Después de estos dos reemplazos, $\gcd(b,c)=1$. Si $d=\gcd(a,b)\neq 1$, a continuación, $d$ debe dividir $c$. Esto contradice $\gcd(b,c)=1$, por lo que no hay soluciones y hemos terminado.
Por lo tanto para el resto de los casos, podemos asumir que $\gcd(a,b)=\gcd(b,c)=1$. Ahora el problema se reduce a resolver
$$
ax^2 + c \equiv 0 \pmod b \implica x^2 \equiv -ca^{-1} \pmod b
$$
es decir, una de las soluciones iff $-ca^{-1}$ es un residuo cuadrático $\pmod b$.
Si $x$ es una solución para es $x+kb$ cualquier $k\in\mathbb Z$, por lo que las distintas infinito clases pueden ser clasificados por las distintas soluciones de $0\leq x < b$ (que puede ser ninguno). Esta es una finito de búsqueda, los cuales, en cierto sentido, se soluciona el problema.
Para el ejemplo dado sería $x=7,18$ para el caso base $0\leq x < 25$, por lo que los dos infinito clases se $x=7+25k$ e $x=18+25k$ para $k\in\mathbb Z$.
Para ampliar esta más, vamos a la única factorización prima de $b$ser
$$
b = \prod_{i=1}^kp_i^{e_i}
$$
Entonces la ecuación se puede dividir en
$$
\begin{align}
x^2 &\equiv -ca^{-1} \pmod{p_i^{e_i}},\quad 1\leq i \leq k
\end{align}
$$
Por la solución de cada ecuación, las soluciones de base puede ser combinado/obtenida a través del Teorema del Resto Chino. También tenga en cuenta que $a,c\not \equiv 0 \pmod{p_i}$ desde $\gcd(a,b)=\gcd(b,c)=1$ por la construcción, por lo $x\not\equiv 0 \pmod{p_i}$.
Edit 1: La discusión debajo de las obras para los impares, números primos, pero se pone difícil para incluso el primer poderes. Si $2^t$ divide $b$ entonces la ecuación
$$
x^2 \equiv -ca^{-1} \pmod{2^t}
$$
debe ser considerado por separado.
Para cada uno de los impares, primos, como $-ca^{-1} \not\equiv 0 \pmod {p_i}$, luego la solución a
$$
x^2 \equiv -ca^{-1} \pmod {p_i}
$$
depende de si $-ca^{-1}$ es un residuo cuadrático $\pmod{p_i}$. Esto le dará a cero o dos soluciones $\pmod{p_i}$. Si cualquiera de las ecuaciones no tiene soluciones, entonces no debe ser cero soluciones de la ecuación original.
De lo contrario, cada ecuación $\pmod{p_i}$ tiene dos soluciones. Entonces a partir de la $x\not\equiv 0 \pmod{p_i}$, por Hensel la elevación se puede demostrar que también hay exactamente dos soluciones $\pmod{p_i^{e_i}}$.
Desde cada una de las $k$ ecuación tiene dos soluciones, después de la CRT no se $2^k$ soluciones de base. Esto a su vez da $2^k$ infinito clases.
Edit 1: Si uno de los números primos es incluso entonces, la combinación de los impares, números primos da $2^{k-1}$ de las clases. El número total depende de cuántas clases hay de $x^2\equiv 0\pmod{p_1^{e_1} = 2^{e_1}}$.