Manera general de resolver$ax^2+by+c=0$

Question

Por ejemplo, la ecuación de diofantina $$x^2+1=25y podemos resolver esto al encontrar una solución particular $(x,y)=(7,2)$ y al usar esta, podemos obtener una solución general.

Mi pregunta es "Para resolver $ax^2+by+c=0$% $(a, b, c \in \mathbb{Z})$ , ¿debemos encontrar una solución particular o no?"

Answer 1

Puesto que x y y tienen una diferencia como $d$,podemos tener una única variable de la ecuación cuadrática por la transformación. Si $x=y ±d$ tenemos:

$a(y ±d)^2+by+c=0$

$ay^2 +(b ±2ad)y ±ad^2+c=0$

$\Delta=(b ±2ad)^2-4a(c ±ad^2)>=0$

Limitación de valor de $\Delta$ nos da un corto intervalo de números para tratar de solución. Por ejemplo, si queremos solucionar $x^2+1=25y$:

Se consideran dos casos:

$|x|>|y|$; por lo que puede transformar la ecuación de la siguiente manera:

Deje $x= y+d$ , tenemos:

$(y+d)^2-25y+1=0$

$y^2+(2d-25)y+d^2+1=0$

$\Delta=-100 d +621$

Para una solución en el conjunto de los números reales que debemos tener:

$\Delta=-100 a +621>=0$ ⇒ $100a<=621$ ⇒$a<6$ .

Ahora tenemos un pequeño intervalo para tratar, por ejemplo :

$a=5$ ⇒$\Delta=121$ ⇒ $y=2$ e $y=13$

$y=2 ⇒ x=7$

$y=13 ⇒ x=18$.

Ahora supongamos $|x|<|y|$, tenemos:

$(y-d)^2+1-25y=0$

$y^2+(-2a-25)y+a^2+1=0$

Que da $y=2, x=7$ e $y=41, x=32$

Para una fórmula general para x e y, la ecuación homogénea $x\times x-25y=0$ da $x=25$ e $y=1$ y tenemos:

$x=7$ como una sola solución para la ecuación de x es $x=25t +7$.

Donde t ∈ Z. Para y nos ponga una x en la ecuación:

$(25t+7)^2+1=25y$ que da $y=25t^2+14t+2$.

Por lo tanto, hay una infinidad de soluciones para esta ecuación.

Answer 2

Suponga $b>0$. Si $b<0$ hacer un cambio de variables $y'=-y$. Deje $d=\gcd(a,b)$, a continuación, $d$ debe dividir $c$ el fin de reducir el $\{a,b,c\}$ a $\{a/d,b/d,c/d\}$. Por lo tanto asumimos que $\gcd(a,b)=1$.

Siguiente, supongamos $d = \gcd(b,c)$. Entonces a partir de la $\gcd(a,b)=1$, $d$ debe dividir $x^2$. Deje $d=u^2v$ , de modo que $v$ es squarefree, a continuación, $x$ debe ser de la forma $x=uvw$ para algunos entero $w$, por lo que podemos sustituir la ecuación con $$\begin{align} ax^2 + by + c &= 0\\ a\frac{u^2v^2w^2}{d} + \frac{b}{d} y + \frac{c}{d} &= 0\\ (av) w^2 + (b/d) y + (c/d) &= 0 \end{align}$$ Así que reemplace $\{a,b,c\}$ por $\{av,b/d,c/d\}$.

Después de estos dos reemplazos, $\gcd(b,c)=1$. Si $d=\gcd(a,b)\neq 1$, a continuación, $d$ debe dividir $c$. Esto contradice $\gcd(b,c)=1$, por lo que no hay soluciones y hemos terminado.

Por lo tanto para el resto de los casos, podemos asumir que $\gcd(a,b)=\gcd(b,c)=1$. Ahora el problema se reduce a resolver $$ax^2 + c \equiv 0 \pmod b \implica x^2 \equiv -ca^{-1} \pmod b$$ es decir, una de las soluciones iff $-ca^{-1}$ es un residuo cuadrático $\pmod b$.

Si $x$ es una solución para es $x+kb$ cualquier $k\in\mathbb Z$, por lo que las distintas infinito clases pueden ser clasificados por las distintas soluciones de $0\leq x < b$ (que puede ser ninguno). Esta es una finito de búsqueda, los cuales, en cierto sentido, se soluciona el problema.

Para el ejemplo dado sería $x=7,18$ para el caso base $0\leq x < 25$, por lo que los dos infinito clases se $x=7+25k$ e $x=18+25k$ para $k\in\mathbb Z$.

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Para ampliar esta más, vamos a la única factorización prima de $b$ser $$b = \prod_{i=1}^kp_i^{e_i}$$

Entonces la ecuación se puede dividir en $$\begin{align} x^2 &\equiv -ca^{-1} \pmod{p_i^{e_i}},\quad 1\leq i \leq k \end{align}$$ Por la solución de cada ecuación, las soluciones de base puede ser combinado/obtenida a través del Teorema del Resto Chino. También tenga en cuenta que $a,c\not \equiv 0 \pmod{p_i}$ desde $\gcd(a,b)=\gcd(b,c)=1$ por la construcción, por lo $x\not\equiv 0 \pmod{p_i}$.

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Edit 1: La discusión debajo de las obras para los impares, números primos, pero se pone difícil para incluso el primer poderes. Si $2^t$ divide $b$ entonces la ecuación $$x^2 \equiv -ca^{-1} \pmod{2^t}$$ debe ser considerado por separado.

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Para cada uno de los impares, primos, como $-ca^{-1} \not\equiv 0 \pmod {p_i}$, luego la solución a $$x^2 \equiv -ca^{-1} \pmod {p_i}$$ depende de si $-ca^{-1}$ es un residuo cuadrático $\pmod{p_i}$. Esto le dará a cero o dos soluciones $\pmod{p_i}$. Si cualquiera de las ecuaciones no tiene soluciones, entonces no debe ser cero soluciones de la ecuación original.

De lo contrario, cada ecuación $\pmod{p_i}$ tiene dos soluciones. Entonces a partir de la $x\not\equiv 0 \pmod{p_i}$, por Hensel la elevación se puede demostrar que también hay exactamente dos soluciones $\pmod{p_i^{e_i}}$.

Desde cada una de las $k$ ecuación tiene dos soluciones, después de la CRT no se $2^k$ soluciones de base. Esto a su vez da $2^k$ infinito clases.

Edit 1: Si uno de los números primos es incluso entonces, la combinación de los impares, números primos da $2^{k-1}$ de las clases. El número total depende de cuántas clases hay de $x^2\equiv 0\pmod{p_1^{e_1} = 2^{e_1}}$.