Encuentre$f$ tal que:$f$ es absolutamente integrable,$f'$ es absolutamente integrable y tal que$f$ no es$1/2$ - Hölder

Question

Estoy tratando de encontrar una función de $f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ que llena las siguientes condiciones

• $$f \in \mathcal{C}^1(\mathbb{R}^+,\mathbb{R}^+)$$

• $$\int_{\mathbb{R}^+} f \in \mathbb{R}^+$$

• $$\int_{\mathbb{R}^+} \mid f' \mid \in \mathbb{R}$$

• $$f \text{is not $\frac{1}{2}$-Hölder}$$

He tratado de funciones con suaves picos, pero soy incapaz de expresar esta función como combinaciones de funciones usuales.

Además, sé que a partir de este post que si $f'^2$ es integrable entonces $f$ es necesariamente $\frac{1}{2}-$Hölder.

Gracias.

Nota: todas las integrales se toman en el sentido de Riemann.

Answer 1

Contraejemplo: Vamos a $I_n$ ser el intervalo de $[n,n+1/2^n].$ En el primer semestre de $I_n,$ definir la función de $g_n$ a ser un triángulo isósceles de altura $n2^{n/2}.$ En la segunda mitad de $I_n,$ definir $g_n$ a ser el espejo de la imagen del primer triángulo, pero esta vez apuntando hacia abajo. Set $g_n=0$ en otros lugares. A continuación, $g_n$ es continua en a$[0,\infty).$ Hemos

$$\int_{I_n}g_n = 0,\,\,\int_{I_n}|g_n| = \frac{n}{2^{{n/2}+1}}.$$

Ahora establezca $f_n(x) = \int_0^x g_n,$ $x\in [0,\infty).$ Entonces $f_n$ es compatible en $I_n,$ es positivo en el interior de $I_n,$ y picos en la mitad de la $n+1/2^{n+1}.$ Verificar que

$$\frac{f_n(n+1/2^{n+1})-f(n)}{(n+1/2^{n+1}-n)^{1/2}}=\frac{n}{2^{n/2+2}}2^{n/2+1/2} = \frac{n}{2^{3/2}} \to \infty.$$

Lo que dice es que el Titular de la $1/2$-norma de $f_n$ tiende a $\infty$ como $n\to \infty.$ Que es lo que necesitamos.

Así que ahora vamos a poner todo esto junto. Definir $g=\sum_{n=1}^{\infty} g_n$ e $f(x)= \int_0^x g.$ Entonces $f$ tiene todas las propiedades necesarias para un contraejemplo. Hay algunos detalles que se dejan ser verificados, así que por favor preguntar si te gusta.