Prueba sin palabras de una simple conjetura acerca de cualquier triángulo

Question

Dado el punto medio (o centroide) $D$ de cualquier triángulo $\triangle ABC$, construimos tres plazas en los tres segmentos que unen $D$ con los tres vértices. Entonces, consideramos que los centros de $K,L,M$ de las tres plazas.

Mi conjetura es que

El área del triángulo $\triangle KLM$ es igual a la mitad del área del triángulo $\triangle ABC$.

Esto es para asegurarse de un conocido resultado (bueno, si es verdad!). En este caso, lo siento por el problema trivial!

Sin embargo, sería bueno tener sugerencias para el desarrollo de una prueba, sin palabras, de tan simples de la demanda (de nuevo, si es cierto), es decir, evitando la trigonometría, etc. Gracias por su ayuda!

EDIT: La conjetura puede ser fácilmente extendido para cualquier polígono regular construido en el se describen los segmentos (por ejemplo, triángulos equiláteros ceder a $1/3$ de la $\triangle ABC$ zona, etc.).

EDITAR (2): El (extended) conjetura parece ser cierto también en el fortalecimiento de los segmentos a partir de la ortocentro (rojo, a la izquierda), en lugar de al centro de gravedad (gris a la derecha). El área de la final triángulo $\triangle KLM$ es sin embargo el mismo!

Answer 1

Observar una espiral de similitud con el centro en $D$ que se lleva a $A$ a $K$. A continuación, se tarda $B$ a $M$ e $C$ a $L$. Este mapa lleva triángulo $ABC$ a del triángulo $KML$ lo que significa que son similarmente con coeficiente de dilatación $k={\sqrt{2}\over 2}$ por Lo que la relación de áreas es $k^2 =1/2$.

Answer 2

Los dos triángulos comparten un centroide. Los vértices del triángulo pequeño están una mitad de cada cuadrado de diagonal, mientras que el triángulo más grande tiene la longitud de un lado. Los triángulos son similares, pues longitudes son proporcionales por un factor de sqrt(2) que hemos cuadrado para una comparación de área de 2 a 1 a favor del más grande.

Answer 3

En el caso especial donde $\triangle ABC$ es derecho y isósceles, parece cierto casi visualmente que, en los triángulos $KLM$ e $ABC$, de la base de$$KM=BC$$and altitude$$BA=2BE$$making$$\triangle ABC=2\triangle KLM$$

Por otro lado, si podemos construir los cuadrados sobre los lados de $\triangle ABC$, como en la figura de abajo, a la inversa que parece suceder:$$\triangle KLM=2\triangle ABC$$since base$$KL=AC$$and altitude$$BM=2BE$$

OP conjetura parece, como algunos sugieren, un resultado particular de un sistema más general de la teoría?

Las cifras anteriores sugieren que tal vez la pregunta más, si una "prueba sin palabras" es realmente posible; parece que las palabras están implícitamente presentes en cualquier tren de pensamiento, y una proposición que fue verdaderamente auto-evidente, no sería una prueba estricto, sino más bien una base o elemento de prueba.

Answer 4

Esto podría ser una idea para una "prueba sin palabras":