¿Cómo puedo argumentar que para que un número sea divisible por 144 tiene que ser divisible por 36?

Question

Supongamos que un cierto número $n \in \mathbb{N}$ es divisible por $144$.

$$\implies \frac{n}{144}=k, \space \space \space k \in \mathbb{Z} \\ \iff \frac{n}{36\cdot4}=k \iff \frac{n}{36}=4k$$

Desde cualquier número entero de veces un número entero es todavía un número entero, se deduce que el $n$ también debe ser divisible por $36$. Sin embargo, lo que creo que tengo solo se muestra es:

$$\text{A number }n \space \text{is divisble by} \space 144 \implies n \space \text{is divisible by} \space 36 \space (1)$$

Es que lo mismo que decir: $$\text{For a number to be divisible by 144 it has to be divisible by 36} \space (2)$$

En otras palabras, son afirmaciones (1) y (2) equivalente?

Answer 1

Sí, es el mismo. $A\implies B$ es equivalente a "si tenemos $A$, debemos tener $B$".

Y su prueba se ve bien. Buen trabajo.

Si yo fuera a ofrecer alguna crítica constructiva, sería de la clase general: En la teoría de los números, aunque nos llame la propiedad "divisible", se suele evitar la división, siempre que sea posible. De las cuatro operaciones básicas de la aritmética es la única que hace que los enteros no-enteros. Y la teoría de números es todo acerca de los números enteros.

Por lo tanto, "$n$ es divisible por $144$", o "$144$ divide $n$" como también se le llama, se define un poco hacia atrás:

Hay un número entero $k$ tal que $n=144k$

(Esto se define para cualquier número en lugar de $144$, excepto $0$.)

Usando esta definición, la prueba se convierte en algo como esto:

Si $n$ es divisible por $144$, entonces existe un número entero $k$ tal que $n=144k$. Esto le da $$ n=144 kb=(36\cdot4)k=36(4k) $$ Desde $4k$ es un número entero, esto significa $n$ es también divisible por $36$.

Answer 2

Sí, eso es correcto o simplemente tenga en cuenta que

PS

pero $$n=144\cdot k= 36\cdot (4\cdot k)$ no es divisible por $n=36$ .

Answer 3

El símbolo $\implies$ se define de la siguiente manera:

Si $p \implies q$ entonces si $p$ es verdadero, entonces $q$ también debe ser cierto. Entonces, cuando dices $144 \mid n \implies 36 \mid n$ es lo mismo que decir que si $144 \mid n$ , entonces también debe ser cierto que $36 \mid n$ .

Answer 4

A menudo hay varios enfoques para las pruebas. Generalmente es bueno estar familiarizado con varias técnicas.

Tiene un muy buen enfoque. Parsimonioso y sólo hace referencia a las entidades particulares en la mano.

Algunas veces, por el bien de ilustrar el uso de conceptos adicionales, usted podría querer apartarse de la parsimonia.

En ese espíritu, he aquí una prueba adicional.

De acuerdo con El Teorema Fundamental de la Aritmética, si algo es divisible por 144, entonces es divisible por al menos el mismo primos elevado a los poderes que necesita para producir 144. En otras palabras, $144=2^43^2$. Para que algo sea divisible por 144, los números primos 2 y 3 deben aparecer en su descomposición en factores primos. Las potencias de 2 y 3 debe ser de al menos 4 y 2, respectivamente. Ahora $36=2^23^2$. Por lo que cualquier número que la descomposición en factores primos incluye los números primos 2 y 3, y de ellos se ha planteado, al menos, a la potencia de 2, entonces también es divisible por 36. Si algo es divisible por 144, tenemos la garantía de que 2 y 3 aparecen en su descomposición en factores primos. Somos también se garantiza que los exponentes 2 y 3 son 4 y 2, respectivamente. Así divisibilidad por 144 implica la divisibilidad entre 36 desde los exponentes de satisfacer los criterios establecidos.

Answer 5

La factorización en primos de 144 es 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 3. La factorización en primos de 36 2 * 2 * 3 * 3.

Si X es divisible por Y, entonces X es la factorización prima contiene todos los factores Y su descomposición en factores primos.

Desde 144 de la descomposición en factores primos contiene todos los factores que en 36 de la descomposición en factores primos, 144 es divisible por 36.

La factorización prima de cada número que es divisible por 144 contiene todos los factores primos de 144, que contiene todos los factores primos de 36. Por lo tanto, cualquier número que sea divisible por 144 tiene una factorización prima que contiene todos los factores primos de 36, y por lo tanto es divisible por 36.