Secuencias de Cauchy, no convergente a cero

Question

Verdadero o Falso? Si $\{x_n\}$ $\{y_n\}$ son de Cauchy y $x_n + y_n > 0$, para todos los $n\in\mathbb{N}$, $\left\{\frac{1}{(x_n + y_n)}\right\}$ no converge a cero.

Creo que la afirmación es Falsa: Si ambas secuencias son de Cauchy, entonces ellos son convergentes y por lo tanto limitada. Entonces existe un número positivo para que las secuencias es menor o igual que el número positivo. A continuación, $1/(x_n + y_n) \leq M$ todos los $n$. Sin embargo, por el Teorema de Cauchy, una secuencia debe acercarse a un valor real. Entonces en este caso sería igual a cero, sino $x_n + y_n > 0$,por lo que no puede acercarse a cero.

¿Esto tiene sentido? Por favor alguien puede ayudarme a aclarar? Cualquier comentario sería muy apreciada. Gracias

Answer 1

Es cierto. Si las secuencias de $\{x_n\}$ $\{y_n\}$ son de Cauchy, entonces ambos son acotados. Así pues, hay un $M\gt 0$ tal que $|x_n|\lt M$ todos los $n$, e $|y_n|\lt M$ todos los $n$. De ello se desprende que $|x_n+y_n|\lt 2M$ todos los $n$. Así, la secuencia $\{\frac{1}{x_n+y_n}\}$ no tiene límite de $0$.

Comentario: no necesitamos a la condición de $x_n+y_n\gt 0$. Hemos dejado un poco de algunas lagunas en el argumento, que para un detallado y completo de la prueba debe ser llenado. Asumimos que ya había visto una prueba de que el hecho de que las secuencias de Cauchy son acotados. El hecho de que si $|x_n+y_n|\lt 2M$, entonces el recíproco de la secuencia no tiene límite de $0$ puede, si lo desea, puede probarse por medio de un sencillo $\epsilon$-$N$ argumento.