Radical de Jacobson de un álgebra de grupo

Question

No tengo demasiada experiencia en jugar con anillos. Así que la pregunta podría ser elemental, pero para mí no lo es hasta ahora.

Sea $K$ sea un campo de característica $p$ y $G$ un grupo finito de orden divisible por $p$ . ¿Podemos determinar el radical de Jacobson del álgebra de grupo $K[G]$ ?

Si esto resulta difícil para un grupo finito arbitrario (con $p||G|$ ) entonces tomando el ejemplo más simple - $G=\langle x|x^p=1\rangle$ ¿podemos determinar $J(K[G])$ ?

(Lo que sé es que si característica de un campo no divide $|G|$ o si es cero, entonces el álgebra de grupo es semi-simple por lo que puedo asegurar que el radical de Jacobson del álgebra de grupo es cero. Estoy considerando el lado complementario de este hecho).

Answer 1

Es bien conocido que si tienes un campo $F$ de característica $p>0$ y un grupo finito $G$ entonces $F[G]$ es local (el ideal máximo es el ideal de aumento, y es también el radical de Jacobson) si $G$ es un $p$ -grupo. Esto cubre su caso del cíclico $p$ -grupo.

Si $G$ tiene una normal $p$ -En el caso del subgrupo de Sylow, conjeturaría que el radical de Jacobson es el núcleo de la proyección sobre el anillo de grupo del grupo mod el subgrupo p. Ciertamente está contenido ahí, pero no estoy seguro. Ciertamente está contenido ahí, pero no estoy totalmente seguro de que sea igual.