$\forall H, \exists G\unrhd H$ con automorfismos de$H$ obtenidos al restringir los automorfismos internos de$G$ a$H$.

Question

18. Mostrar que si $H$ es cualquier grupo, a continuación, hay un grupo de $G$ que contiene $H$ como un subgrupo normal con la propiedad de que para cada automorphism $\sigma$ $H$ hay un elemento $g\in G$ tal que la conjugación por $g$ cuando se limita a $H$ es el dado por el automorphism $\sigma$, es decir, cada automorphism de $H$ se obtiene como un interior automorphism de $G$ restringido a $H$.

Para $G=H\rtimes_\varphi K$, vistas a la $G$ como el conjunto de pares ordenados $\{(h,k)\}$ s.t. $(h_1,k_1)(h_2,k_2)=(h_1(\varphi(k_1)(h_2)),k_1k_2)$

Mi conjetura es que el $G=\operatorname{Hol}(H)=H\rtimes \operatorname{Aut}(H)$. Por ejemplo, supongamos $H=\Bbb Z_2\times\Bbb Z_2=\{1,x,y,xy\}$,$\operatorname{Aut}(H)\cong S_3$, donde cada simetría permutes la $3$ sin elementos de identidad de $H$. $G=\operatorname{Hol}(H)=(\Bbb Z_2\times\Bbb Z_2)\rtimes_\varphi S_3$: $$\varphi:S_3\rightarrow\operatorname{Aut}(\Bbb Z_2\times\Bbb Z_2)\cong S_3$$ $$\varphi(12)=\sigma_{(12)}:x\mapsto y,y\mapsto x,xy\mapsto xy$$ $$\varphi(123)=\sigma_{(123)}:x\mapsto y,y\mapsto xy,xy\mapsto x$$ $$\vdots$$

Podemos incrustar $H$ $\operatorname{Aut}(H)$ en un grupo más grande, en este caso $G=\operatorname{Hol}(H)\cong S_4$, e $H\unlhd G$. Cada automorphism $\sigma$ $H=\Bbb Z_2\times\Bbb Z_2$ aparece en el codominio de $\varphi$ y corresponde a exactamente un elemento en $S_3$ ($\varphi$ es un bijection). Si vemos a $S_3$ como un subgrupo de $S_4$, $\sigma$ corresponde a $g=(1,\sigma)\in G$ s.t. la conjugación por $g=(1,\sigma)$ cuando se limita a $H$$\sigma$, porque esto es exactamente cómo se define un semidirect producto: $K$ actúa en $H$ por conjugación. por ejemplo, $\sigma_{(12)}:x\mapsto y,y\mapsto x,xy\mapsto xy$ corresponde a el par ordenado $g=(1,(12))\in G$ s.t. la conjugación por $g$ cuando se limita a $H$ (utilizado durante la construcción de la semidirect producto) es $\sigma_{(12)}$.

Es mi suposición correcta? Sé que el ejemplo se ve torpe, pero quiero saber si hay algún problema con el anterior. Gracias!

Answer 1

Su conjetura es correcta.

Por lo general, si usted toma un grupos de $H$$K$, y un grupo de homomorphism $f: K \rightarrow \operatorname{Aut}(H)$, puede utilizar $(H,K,f)$ para formar el semidirect producto $G = H \rtimes_f K$.

A continuación, algunos hechos básicos que usted puede comprobar la utilización de las definiciones:

• $H' = \{(h,1) : h \in H \}$ es un subgrupo normal de $G$, isomorfo a $H$.
• $K' = \{(1,k) : k \in K \}$ es un subgrupo de $G$, isomorfo a $K$.
• Cada elemento de a $g \in G$ induce un automorphism de $H'$ a través de conjugación, de ahí que una automorphism de $H$.
• Para $k \in K$, la conjugación por $(1,k)$ induce un automorphism de $H'$ que corresponde a la automorphism $f(k)$$H$.

En particular, si tomamos $K = \operatorname{Aut}(H)$ $f$ a ser el mapa de identidad, la semidirect producto $G$ es (por definición) el holomorph. Debe ser inmediata, que en este semidirect producto $G$, la conjugación de los elementos de $K'$ le da todos los automorphism de $H$.