Triángulo con relación de lados igual a relación de ángulos

Question

En un triángulo equilátero, las longitudes de los lados tienen una relación de 1: 1: 1, al igual que las medidas de los ángulos.

¿También hay triángulos no equiláteros en los que la relación de las longitudes de los lados es la misma que la relación de las medidas de los ángulos? Si es así, ¿cuál es un ejemplo de tal triángulo?

Answer 1

El triángulo equilátero es el único caso.

Deje $A$ $B$ dos ángulos, y $a$ $b$ ser los respectivos lados opuestos. Entonces $$ \frac{\sin Un}{\pecado B} = \frac un b $$ así que si sus coeficientes son iguales, entonces

$$ \frac{\sin Un}{\pecado B} = \frac un b $$ $$ \frac{\pecado A}{A} = \frac{\pecado B}{B} $$ Así que para tener un triángulo donde$A \neq B$, se requieren dos distintos puntos positivos, tanto en la curva de $f(x) = \frac{\sin x}x$ , teniendo el mismo valor de $f(x)$. Para que esto suceda uno de los puntos debe ser mayor que $\pi$ y que no puede ser un ángulo en un triángulo.

Así que no hay dos ángulos de un triángulo puede ser desigual, lo que debe ser equilátero.

Answer 2

Utilizando la Ley de los Senos, la relación de los lados a la relación de los ángulos, se convierte en la relación de los senos de los ángulos a la relación de los ángulos. Esto significa que la sinc de los ángulos deben ser iguales. Desde la Sinc Función es uno a uno en $[0,\pi]$, los ángulos deben ser iguales.

Por lo tanto, el único triángulo que tiene esta propiedad es el triángulo equilátero.

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Es decir, queremos $$ \frac un\alpha=\frac b\beta=\frac c\gamma\etiqueta{1} $$ La Ley de los Senos dice $$ \frac{\sin(\alpha)}=\frac{\sin(\beta)}b=\frac{\sin(\gamma)}c\etiqueta{2} $$ Multiplicando $(1)$$(2)$, obtenemos $$ \frac{\sin(\alpha)}\alpha=\frac{\sin(\beta)}\beta=\frac{\sin(\gamma)}\gamma\etiqueta{3} $$ Desde la sinc función es uno a uno en $[0,\pi]$, $(3)$ implica que $$ \alpha=\beta=\gamma\etiqueta{4} $$