Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/GeneralPunctuation.js

4 votos

Mostrar que si X es un espacio de Hilbert, entonces así es Y

Dado que el X Y normativa espacios lineales y que T:XY es lineal en el mapa, de tal manera que T(αx1+βx2)=αT(x1)+βT(x2) para todos los vectores x1,x2X y escalares α,β. Supongamos T mapas de X a Y y es isométrica, todos los x\in X.

1) Mostrar que si X es un espacio de Hilbert, entonces también lo es Y si definimos:

\langle y_1,y_2\rangle_Y=\langle x_1,x_2\rangle_X

Dondex_1,x_2, son los únicos puntos en X satisfacción Tx_1=y_1 Tx_2=y_2

Lo que he hecho hasta ahora

Anteriormente he probado que si X es un espacio de Banach, entonces también lo es Y.

Así que estoy pensando que desde X es un espacio de Hilbert,

||y_1-y_2|| = ||T(x_1)-T(x_2)|| = ||T(x_1-x_2)||=||x_1-x_2|| \implies

||y_1-y_2||^2 = ||y_1||^2 - 2Re\langle y_1,y_2 \rangle + ||y_2||^2

||x_1-x_2||^2 = ||x_1||^2 - 2Re\langle x_1,x_2 \rangle + ||x_2||^2

y

||y_1+y_2|| = ||T(x_1)+T(x_2)|| = ||T(x_1+x_2)||=||x_1+x_2|| \implies

||y_1+y_2||^2 = ||y_1||^2 + 2Re\langle y_1,y_2 \rangle + ||y_2||^2

||x_1+x_2||^2 = ||x_1||^2 + 2Re\langle x_1,x_2 \rangle + ||x_2||^2

Por lo tanto

||y_1+y_2||^2+||y_1-y_2||^2=2||y_1||^2+2||y_2||^2

Por lo tanto, el paralelogramo de la igualdad tiene por Y, y por lo tanto no es un producto interior que da la norma, y por lo ||y_1 - y_2||=\sqrt{\langle y_1-y_2,y_1-y_2 \rangle} y, por tanto, Y es un espacio de Hilbert.

3voto

Hay que ir de esta manera

||y_1-y_2|| = ||T(x_1)-T(x_2)|| = ||T(x_1-x_2)||=||x_1-x_2||

desde entonces se han dado

||T(x)||=||x||

y por lo tanto, la ley del paralelogramo.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X