Mostrar que si $X$ es un espacio de Hilbert, entonces así es $Y$

Question

Dado que el $X$ $Y$ normativa espacios lineales y que $T:X\to Y$ es lineal en el mapa, de tal manera que $T(\alpha x_1 + \beta x_2) = \alpha T(x_1)+ \beta T(x_2)$ para todos los vectores $x_1,x_2\in X$ y escalares $\alpha , \beta$. Supongamos $T$ mapas de $X$ a $Y$ y es isométrica, $\|Tx\|=\|x\|$ todos los $x\in X$.

1) Mostrar que si $X$ es un espacio de Hilbert, entonces también lo es $Y$ si definimos:

$$\langle y_1,y_2\rangle_Y=\langle x_1,x_2\rangle_X$$

Donde$x_1,x_2$, son los únicos puntos en $X$ satisfacción $Tx_1=y_1$ $Tx_2=y_2$

Lo que he hecho hasta ahora

Anteriormente he probado que si $X$ es un espacio de Banach, entonces también lo es $Y$.

Así que estoy pensando que desde $X$ es un espacio de Hilbert,

$$||y_1-y_2|| = ||T(x_1)-T(x_2)|| = ||T(x_1-x_2)||=||x_1-x_2|| \implies$$

$$||y_1-y_2||^2 = ||y_1||^2 - 2Re\langle y_1,y_2 \rangle + ||y_2||^2$$

$$||x_1-x_2||^2 = ||x_1||^2 - 2Re\langle x_1,x_2 \rangle + ||x_2||^2$$

y

$$||y_1+y_2|| = ||T(x_1)+T(x_2)|| = ||T(x_1+x_2)||=||x_1+x_2|| \implies$$

$$||y_1+y_2||^2 = ||y_1||^2 + 2Re\langle y_1,y_2 \rangle + ||y_2||^2$$

$$||x_1+x_2||^2 = ||x_1||^2 + 2Re\langle x_1,x_2 \rangle + ||x_2||^2$$

Por lo tanto

$$||y_1+y_2||^2+||y_1-y_2||^2=2||y_1||^2+2||y_2||^2$$

Por lo tanto, el paralelogramo de la igualdad tiene por $Y$, y por lo tanto no es un producto interior que da la norma, y por lo $||y_1 - y_2||=\sqrt{\langle y_1-y_2,y_1-y_2 \rangle}$ y, por tanto, $Y$ es un espacio de Hilbert.

Answer 1

Hay que ir de esta manera

$$||y_1-y_2|| = ||T(x_1)-T(x_2)|| = ||T(x_1-x_2)||=||x_1-x_2||$$

desde entonces se han dado

$$||T(x)||=||x||$$

y por lo tanto, la ley del paralelogramo.