Desigualdad de calidad de análisis

Question

Que ${aj}{j=1}^N$ sea un conjunto finito de números reales positivos. Supongamos que

$$\sum_{j=1}^{N} a_j = A,$ $ probar

$$\sum_{j=1}^{N} \frac{1}{a_j} \geq \frac{N^2}{A}.$$

¿Consejos sobre cómo proceder?

Answer 1

$$N=\sqrt{a_1}.\frac{1}{\sqrt{a_1}}+...+\sqrt{a_n}.\frac{1}{\sqrt{a_n}}\leq \sqrt{a_1+...+a_n}\sqrt{\frac{1}{a_1}+...+\frac{1}{a_n}}$ $ Ahora cuadrado ambos lados de la desigualdad.

Answer 2

Probar la desigualdad de Cauchy-Schwarz. Esto sería una prueba de la 3 línea. $$ \left(\sum_{i=1}^Nx_iyi\right) ^ 2\le\sum {i = 1} ^ Nxi ^ 2·\sum {i = 1} ^ Ny_i ^ 2 $$ ahora eligió $x_i,y_i$ para que se reconozca las sumas en la tarea y que $x_iy_i=1$.

Answer 3

No $g(x) = 1/x, x > 0.$ $g$ es convexo en $(0,\infty),$ por lo tanto, de Jensen,

$$ g(\frac{1}{N}\sum_{j=1}^{N}an) \le \frac{1}{N}\sum{j=1}^{N}g(a_n).$$

La desigualdad se cae derecho.

Answer 4

% Positivo $a,b$tenemos $a/b+b/a= (\sqrt {a/b}-\sqrt {b/a})^2+2\geq 2 .$

Por lo tanto $\sum_1^na_i \sum_1^n 1/a_i= \sum_1^n a_i(1/ai)+\sum{1\leq i<j cauchy-schwarz.="" de="" desigualdad="" i="" la="" n=""></j>