Demuestre que$ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{x^3}{(x^2+4)(x^2+1)}\, dx$ no converge

Question

Noté que$\displaystyle \int_{-a}^{b} \frac{x^3}{(x^2+4)(x^2+1)}$ converge a$0$ cada vez que$a=b$ y convergerá a algún valor cuando$a,b$ esté en los reales (excluyendo el infinito). ¿Cómo mostraría que esta integral no converge en el intervalo$(-\infty, \infty)$ a alguien que no está convencido?

Cuando evalué esta integral utilizando residuos complejos para el intervalo$(-\infty, \infty)$$(Res[z=2i] + Res[z=i])$, obtuve un valor complejo como respuesta.

Answer 1

$\displaystyle \frac{x^3}{(x^2+4)(x^2+1)} \geq \frac{x^3}{4x^4}=\frac{1}{4x}$

para suficientemente grande$x$.

OBS: ¿Y qué quiere decir con "convergerá a$0$ cada vez que$a=b$ y convergerá a algún valor cuando a, b esté en los reales (excluyendo el infinito)"? La integral de esos valores es auténtica, bien definida, integral de riemann. No hay "convergencia".

Answer 2

Además del punto simple de Aloizio Macedo, que se aplicaría a muchos casos, podría ir más allá, podría usar el hecho de que$$\frac{x^3}{(x^2+4)(x^2+1)}=\frac{4 x}{3 \left(x^2+4\right)}-\frac{x}{3 \left(x^2+1\right)}=\frac 23 \frac{2 x}{x^2+4}-\frac 16 \frac{2 x}{x^2+1}$$ So $$\int\frac{x^3}{(x^2+4)(x^2+1)}\,dx=\frac{2}{3} \log \left(x^2+4\right)-\frac{1}{6} \log \left(x^2+1\right)$ $ Already, the doefficients show what would be the problem $% \ frac 23 - \ frac 16 = + \ frac 12 $.

Como ya notó que, si es$a=b$, el resultado es$0$ entonces$$\int_{-a}^b\frac{x^3}{(x^2+4)(x^2+1)}\,dx=\int_{a}^b\frac{x^3}{(x^2+4)(x^2+1)}\,dx=\frac{1}{6} \log \Big(\frac{(b^2+4)^4\,(a^2+1)}{(a^2+4)^4\,(b^2+1)}\Big)$$ which, forgetting a constant which depend on $ a$, is basically $ \ log (b)$ for large values of $ b $ .