(a) Suponer eso . Demostrar eso .

Question

Este es un problema en V de Arnold Ecuaciones Diferenciales Ordinarias.

Por el trazado de la función $f(x)=\mathrm{cos}x+\mathrm{sin}\sqrt{2}x$ (el primer gráfico a continuación), veo que la gráfica está delimitado de -2 a 2. Pero el límite de puntos de $\{2,-2\}$ no alcanzado por $f(x)$. Intuitivamente, parece cierto que el $f(x)$ se aproxima a 2 cuando ambos $\mathrm{cos}x$ $\mathrm{sin}\sqrt{2}x$ enfoque 1. A partir de la gráfica de ambas $\mathrm{cos}x$ $\mathrm{sin}\sqrt{2}x$ (el segundo gráfico de abajo), uno puede ver que alrededor de $x=19$ ambos $\mathrm{cos}x$ $\mathrm{sin}\sqrt{2}x$ enfoque 1.

Pero esto no parece mucho de una prueba. Hay otro enfoque para demostrar esta igualdad? También, no he podido encontrar una ODA relacionados con el enfoque a este problema.

Answer 1

Usted está en el camino correcto. Tomamos nota de que:

$\cos(x)=1$ cuando $x=2\pi n$, $n\in\mathbb{N}\cup\{0\}$

y

$\sin(\sqrt{2}x)=1$ cuando $\sqrt{2}x=2\pi n + \dfrac{\pi}{2}$, $n\in\mathbb{N}\cup\{0\}\implies x=\sqrt{2}\pi n+\dfrac{\pi}{2\sqrt{2}}=\sqrt{2}\left(\pi n+\dfrac{\pi}{4}\right)$.

Los valores del coseno plazo son todos racionales, y para el sine plazo son todos irracional, demostrando que ambos nunca se $1$ al mismo tiempo.

Pero, podemos obtener arbitrariamente cerca. Está usted familiarizado con la propiedad de álgebra que dados dos enteros $x,y$, cualquier múltiplo de $\gcd(x,y)$ puede ser construido a través de combinaciones lineales? Una regla similar le ayudará a demostrar que se puede obtener como arbitrariamente cerca de $2$ que quieras aquí. Me libremente admitir que no tengo los detalles trabajado, al punto que los matemáticos suelen decir "voy a dejar que parte como un ejercicio".

Answer 2

Basta probar que usted puede encontrar los números enteros $m$ $n$ tal que $2\pi m$ $ \sqrt{2}\pi n+\frac{\pi}{2\sqrt{2}}$ son arbitrariamente cerca. Pero esta es una rutina de aplicación de la Equidiistribution teorema. Vea si usted puede encontrar el resto por su cuenta.

Prueba:

Deje $\varepsilon>0$ ser dado. Por la equidistribución teorema anterior, $a_n = \{\frac{4n+1}{4\sqrt{2}}\}$ números son equidistributed en el intervalo de $(0,1)$. Por lo tanto, podemos encontrar $n$ tal que $a_n<\frac{\varepsilon}{2\pi}$. Ahora vamos a $m = \frac{4n+1}{4\sqrt{2}} - a_n = \frac{n}{\sqrt{2}} + \frac{1}{4\sqrt{2}} - a_n\in\mathbb{Z}$. Por nuestra construcción, $$|2\pi(m-\frac{n}{\sqrt{2}}-\frac{1}{4\sqrt{2}})| = |2\pi m - \sqrt{2}\pi n-\frac{\pi}{2\sqrt{2}}| = 2\pi a_n<\varepsilon.$$

Tenga en cuenta que en el comentario original, me citados erróneamente de Dirichlet del teorema de aproximación en lugar de la equidistribución teorema. También, este teorema demostrado por el uso de sólo pigeon-hole principio, así que esto es básicamente nada avanzado.