Mismo número de parámetros independientes para $SO(n)$ y $O(n)$

Question

¿Por qué es el número de parámetros independientes para $SO(n)$ y $O(n)$ mismo, a pesar de una restricción adicional del determinante de la unidad $SO(n)$?

Answer 1

Una matriz ortogonal $O^TO={\bf 1}$ debe automáticamente $\det O = \pm 1$. Así el conjunto $O(n)$ ortogonal de matrices consiste en (al menos) dos desconectado componentes, uno con determinante $+1$ y uno con determinante $-1$.

Uno puede mostrar que cada uno de los dos componentes es un $\frac{n(n-1)}{2}$ dimensiones reales del colector.

Si nos fijamos en el componente con determinante $+1$, vemos que la condición adicional $\det O =+1$ $SO(n)$ está satisfecho automáticamente, y por lo tanto no restringir la dimensión más.

Si nos fijamos en el componente con determinante $-1$, vemos que la condición adicional $\det O =+1$ $SO(n)$ no está satisfecho en absoluto, de modo que todo el componente es removido.