Núcleo de un morfismo específico.

Question

Deje que$\Bbb Z/p$ sea el campo finito con$p$ elementos.

Considere$\Bbb Z/p[X]$, el anillo de polinomios con coeficientes en$\Bbb Z/p$.

Considere también el anillo$P(\Bbb Z/p)$ de todas las funciones polinomiales en$\Bbb Z/p$.

Deje que$\varphi$ sea el morfismo$\Bbb Z/p[X]\to P(\Bbb Z/p)$, vinculando a cada polinomio su función polinomial.

¿Es correcto que el kernel de$\varphi$ sea el ideal$(X^p-X)$?

Answer 1

Esto no debería ser terrible de ver:$k[X]$ siempre es un PID (para$k$ un campo), y$X^p - X = \prod_{a \in \mathbb{Z}_p} (X - a)$ es defo en el kernel por poco fermat. Entonces, si$(X^p - X)$ no fuera todo el kernel, sería generado por algún$f$ dividiendo adecuadamente a este tipo, si$f$ omite un factor dado$(X - a_0)$, entonces boop,$f$ no desaparece como una función en$a_0$!