gratis subgrupos de $SL(2,\mathbb{R})$

Question

En el ejemplo de la sección del artículo de wikipedia sobre el de la mesa de Ping Pong lema, se puede ver cómo se construye una libre subgrupo de $SL(2,\mathbb{R})$ con dos generadores $$ a_1 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \ \ \ \ \ a_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}. $$ Es posible construir libre subgrupos de $SL(2,\mathbb{R})$ con un número arbitrario de los generadores de una manera similar (usando el comando Ping Pong lema)? Hacer subgrupos siquiera existen?

Lo siento si es una pregunta estúpida, soy un noob en teoría de grupos.

Answer 1

Subgrupos de libre grupos son libres (esto es bien conocido teorema de por Nilsen-Schreier). Gratis de grupo $H$ en dos generadores $F_2$ contiene un subgrupo de conteo, clasificación (por ejemplo, su colector subgrupo). Esto implica que $F_2$ contiene ningún subgrupo de rango finito. De hecho, si $H=\langle a_1,a_2,a_3,\dots\rangle$, $\langle a_1,\dots, a_n\rangle$ da gratis un subgrupo en $F_2$ de la fila $n$.

De modo que el libre subgrupo en $2$ generadores de que usted haya encontrado en $SL(2,\mathbb{R})$ te da automáticamente libre de subgrupos de $SL(2,\mathbb{R})$ arbitrarias contables rango.

Answer 2

Parece que vale la pena destacar que se pueden construir también explícitamente libres subgrupos de $\mathrm{SL}(2,\mathbb R)$ de la fila (finita) arbitrariamente grande.

Es decir, si dejamos que $\Gamma(N)$ indican el subgrupo de $\mathrm{SL}(2,\mathbb Z)$ formado de matrices que son $\equiv 1 \bmod N$ y $N \geq 3$, el grupo $\Gamma(N)$ es libre, en un número de generadores que crece algo así como $N^3$.