A menudo he visto a la gente en los seminarios de justificar la existencia de un cociente de un esquema de una expresión algebraica grupo comentando que el grupo de acción está libre. Sin embargo, estoy bastante seguro de que también están invocando algo más. Así que mi pregunta es: cuando usted puede cociente de un esquema de la libre acción y obtener un esquema? En particular, cuando se haga el coset espacios de un subgrupo de una expresión algebraica grupo de existir como un esquema? Y en estos casos, ¿cómo se puede construir el cociente?
Respuestas
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Jeff Atwood
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Hironaka el ejemplo de una correcta no proyectiva 3 veces tiene un $\mathbb Z/2$ acción que es gratis (de hecho, no hay un punto fijo, pero usted puede simplemente a la basura), cuyo cociente no es un esquema. (véase el apéndice de Hartshorne (página 443) o Shafarevich (página 75))
En general, el cociente de un esquema de la libre acción de un grupo algebraica de espacio. Si este grupo es finito, esto es sólo porque la acción induce un etale de equivalencia de la relación (esto es donde usted uso de la libertad), y cualquier cociente de un esquema de un etale relación de equivalencia algebraica de espacio. Infinito grupos, el cociente será una expresión algebraica de la pila fibrado en conjuntos, por lo que será algebraica de espacio (c.f. esta pregunta).
Usted se reduce entonces a la pregunta, cuando es una expresión algebraica de espacio de un esquema?
He aquí una situación de donde se obtiene un esquema de cociente. Si usted tiene un cuasi-proyectiva variedad $X$ con una acción de un conectada reductora grupo $G$, entonces no es un geométricas cociente $X/G$ si existe una línea bundle $L$ ($G$- acción compatible con la $G$-acción en $X$), tales que cada punto de $X$ es estable con respecto a $L$. Es decir, si para cada punto de $x\in X$, hay una sección invariante $s$ de algunos tensor de energía de $L$ tal que $X_s$ (el no-desaparición de locus de $s$) es un abierto afín barrio de $x$ en el que todos los $G$-órbita es cerrado. Este es el Teorema 1.10 en Geométricas Invariantes de la Teoría. No sé si a sabiendas de que la acción de la $G$ es gratis ayuda en la búsqueda de un $L$.
Damian Powell
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Para responder (en un caso) la pregunta siempre es verdadero para algebraicas lineales de los grupos que la órbita en el espacio de un subgrupo cerrado es un esquema, y también será un algebraicas lineales grupo, siempre que el subgrupo es normal.
Supongamos que tenemos un cerrado subgrupo H de G. Una manera de construir la órbita espacio es como un G-órbita en el proyectiva paquete de P(V) asociado a algunos racional representación del G -> GL(V). El punto es que podemos elegir este tipo de representación tiene la propiedad de que V es una dimensión del subespacio W de modo que H es, precisamente, el subgrupo de G fijación W. Tomar [W] en la asociada proyectiva del espacio de V tenemos que H es la isotropía del grupo de [W]. Entonces, uno puede identificar G/H con la órbita de [W] en P(V) y se puede comprobar que esto es lo correcto a hacer en términos de la característica universal. En particular, la órbita espacio es cuasi-proyectiva y uno puede ir a estudiar cuando la órbita espacio proyectivo (es decir, mirar parabólico de los subgrupos).
No estoy seguro acerca de la primera parte... Si la acción es transitiva, a menudo, uno puede argumentar que el cociente es representable por una expresión algebraica de espacio y, a continuación, utilizar la transitividad de la acción del grupo para demostrar que uno tiene, de hecho, un esquema. Estoy bastante seguro de libertad deben corresponder a las buenas propiedades de la geometría del cociente siempre existe uno (probablemente sólo entonces, en algunos subscheme) en lugar de garantizar la existencia y parece que este es el caso, dado el ejemplo de Charles vinculado.
Max Muller
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1738
En el caso de un cociente de un esquema de $X$ por un grupo finito $G$, una condición necesaria y suficiente para el cociente esquema de $X/G$ a existir es que la órbita de cada punto de $X$ estar contenida en una afín a abrir subconjunto de $X$. Esto queda demostrado en el SGA yo, Exposé V, la proposición 1.8.
En particular, si $X$ es un cerrado subscheme de espacio proyectivo, entonces para cualquier conjunto finito de puntos de $X$ (en particular, cualquier órbita de un solo punto) podemos encontrar una hyperplane que no contengan ninguno de esos puntos. El complemento será un afín abierto de $X$ que contiene la órbita. Esto cubre la existencia de un cociente en los casos en que se $X$ es proyectiva (y por un argumento similar, cuasi-proyectiva).
He aquí un bosquejo del argumento en SGA I: Si la condición se cumple, una primera muestra de que esto implica que $X$ $G$- invariante abrir cuñados, luego por la adopción de invariantes, construye el cociente de cada afín por $G$, y, a continuación, colas para obtener el mundial de cociente $X/G$.
Por el contrario, si $X/G$ es un esquema para cualquier abierto afín $V \subseteq X/G$ el inverso de la imagen de $V$ menor a la de morfismos $X\longrightarrow X/G$ es un abierto afín de $X$ estable bajo $G$. Ya podemos cubrir la $X$ por tales se abre, la órbita de cualquier punto de $X$ está contenida en algunos afín conjunto abierto.
Como en George McNinch la respuesta de que no hay necesidad de la $G$-acción para ser libre. (Esta discusión se limita a los cocientes por grupos finitos, aunque!)
sickgemini
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2001
