Calcular la energía orbital específica, el semieje mayor y el período orbital de un cuerpo en órbita

Question

¿Es posible calcular la energía orbital específica $$, the semi-major axis $a$, and the orbital period $T$ (or $P$) without any of them being available to you? The values I do have available to me are the velocity of the orbiting body relative to the center of gravity, its current position (also relative to the center of gravity), and the central mass that is providing the source of gravity $M$. También tengo la masa del cuerpo en órbita, pero es insignificante.

Entonces, teniendo en cuenta todas estas cosas y sin factores externos, ¿es posible calcular alguno de los valores mencionados anteriormente? Según la Tercera Ley de Kepler, el periodo orbital viene dado en la proporción $4^2/T^2 = GM/R^3$ donde $T$ es el período orbital, $G$ es la Constante Gravitacional Universal de Newton, $M$ es la masa del cuerpo mayor (dado que la masa del cuerpo en órbita es despreciable), y $R$ es la distancia entre el centro de gravedad y el cuerpo en órbita. Esto no ayuda mucho, simplemente porque es una proporción y no se puede trabajar con el álgebra para obtener un valor real para $T$ (¿creo?).

De todos modos, he buscado en Internet y en la Wikipedia tratando de encontrar una manera de calcular estos valores, pero estoy perdido. Estoy tratando de ver si hay una manera de calcular estas cosas para un pequeño proyecto de programación/simulador. De lo contrario, sería necesario simular el programa durante un período para determinar uno de estos valores para calcular los otros.

Answer 1

Sí, puedes derivar todas estas cantidades. La energía orbital específica $E$ es $$\begin{align} E &= \frac{1}{2}v^2 - \frac{\mu}{r}= -\frac{\mu}{2a}, \end{align}$$ donde $\mu = GM^3/(M+m)^2$ y $a$ es el semieje mayor. El periodo orbital se deduce de la tercera ley de Kepler: $$T^2 = (2\pi)^2\frac{a^3}{\mu}.$$ Si también se conoce la velocidad radial $v_r$ y la velocidad tangencial $v_T$ por separado en $r$ entonces también se puede calcular el momento angular relativo específico $h$ y la excentricidad orbital $e$ : $$\begin{align} h^2 &= r^2\,v^2_{T} = \mu a(1-e^2). \end{align}$$

---

Editar

Varias personas han intentado cambiar $\mu$ en $\mu = G(M+m)$ . Esto es incorrecto, porque esa es la fórmula de relativa movimiento en lugar de movimiento con respecto al centro de masa . Las ecuaciones de movimiento del problema de dos cuerpos son $$\begin{align} m\ddot{\boldsymbol{r}}_m &= - \frac{GmM}{|\boldsymbol{r}_m - \boldsymbol{r}_M|^3}\left(\boldsymbol{r}_m - \boldsymbol{r}_M\right),\\ M\ddot{\boldsymbol{r}}_M &= \frac{GmM}{|\boldsymbol{r}_m - \boldsymbol{r}_M|^3}\left(\boldsymbol{r}_m - \boldsymbol{r}_M\right),\\ \end{align}$$ donde $\boldsymbol{r}_m$ y $\boldsymbol{r}_M$ son las posiciones del cuerpo pequeño y del grande con respecto al centro de masa. Lo que queremos es expresar el movimiento del cuerpo pequeño en términos de $\boldsymbol{r}_m$ . Por definición, la posición del centro de masa permanece constante, $$m\boldsymbol{r}_m + M\boldsymbol{r}_M = \boldsymbol{0},$$ para que $$\boldsymbol{r}_m - \boldsymbol{r}_M = \frac{M+m}{M}\boldsymbol{r}_m.$$ Por lo tanto, $$m\ddot{\boldsymbol{r}}_m = -GmM\frac{M^3}{(M+m)^3r^3_m}\left(\frac{M+m}{M}\boldsymbol{r}_m\right),$$ o $$\ddot{\boldsymbol{r}}_m = -\frac{\mu}{r^3_m}\boldsymbol{r}_m,$$ con $\mu = GM^3/(M+m)^2$ . En mi respuesta, $r = r_m$ . Espero que esto aclare las cosas.