Demostrar que $a(x+y+z) = x(a+b+c)$

Question

Si $(a^2+b^2 +c^2)(x^2+y^2 +z^2) = (ax+by+cz)^2$

Entonces demuestre que $a(x+y+z) = x(a+b+c)$

Hice la expansión en ambos lados y obtuve: $a^2y^2+a^2z^2+b^2x^2+b^2z^2+c^2x^2+c^2y^2=2(abxy+bcyz+cazx) $ pero no veo ninguna manera de probar $a(x+y+z) = x(a+b+c)$ . ¿Cómo debo proceder?

Answer 1

SUGERENCIA: Para hacerlo sin álgebra lineal, expande ambos lados y resta los términos iguales para dejar

$$a^2y^2+a^2z^2+b^2x^2+b^2z^2+c^2x^2+c^2y^2=2abxy+2acxz+2bcyz\;.$$

Observe que puede reorganizar esto como

$$(a^2y^2-2abxy+b^2x^2)+(a^2z^2-2acxz+c^2x^2)+(b^2z^2-2bcyz+c^2y^2)=0\;,$$

o

$$(ay-bx)^2+(az-cx)^2+(bz-cy)^2=0\;.$$

• ¿Qué puede concluir sobre $ay-bx$ , $az-cx$ y $bz-cy$ ?
• ¿Qué puede concluir sobre $a(x+y+z)$ y $x(a+b+c)$ ?

Answer 2

Por la desigualdad C-S, $(ax+by+cz)^2\le (a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)$ con igualdad si $(x,y,z)=\lambda(a,b,c)$ para algunos $\lambda$ o $(a,b,c)=(0,0,0)$ . Pero, si $(a,b,c)=(0,0,0)$ el problema es trivial. Si no es el caso, entonces $x=\lambda a$ , $y=\lambda b$ y $z=\lambda c$ .

Entonces $x+y+z=\lambda(a+b+c)$ . Multiplicando por $a$ ambos lados y recordando $x=\lambda a$ cédanos la prueba.

Answer 3

$$a^2x^2+a^2y^2+a^2z^2+b^2x^2+b^2y^2+b^2z^2+c^2x^2+c^2y^2+c^2z^2=a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2+2axby+2axcz+2byxz$$

$$a^2y^2+a^2z^2+b^2x^2+b^2z^2+c^2x^2+c^2y^2=2axby+2axcz+2byxz$$

$$a^2y^2-2axby+b^2x^2+a^2z^2-2axcz+c^2x^2+b^2z^2-2byxz+c^2y^2=0$$

$$(ay-bx)^2+(az-cx)^2+(bz-cy)^2=0$$

A partir de aquí la respuesta es clara. Los tres términos son cero.