Usando el SLLN para mostrar que la Media Muestral de Llegadas tiende a la Tasa de Llegadas para un simple Proceso Poisson

Question

Sea $N_t = N([0,t])$ denotan un proceso de Poisson con tasa $\lambda = 1$ en el intervalo $[0,1]$ .

Me pregunto cómo puedo utilizar la Ley de los Grandes Números para argumentarlo formalmente:

$$\frac{N_t}{t} \rightarrow \lambda \quad \text{ a.s.} $$

Así las cosas, puedo casi probar el resultado requerido pero tengo que suponer que $t \in Z_+$ . Con este supuesto, puedo definir variables aleatorias de Poisson en intervalos de tamaño $1$ como sigue

$$N_i = N([i-1,i])$$

donde

$$\mathbb{E}[N([i-1,i])] = \text{Var}[N([i-1,i])] = 1$$

y

$$N_t = N([0,t]) = \sum_{i=1}^t N([i-1,i]) = \sum_{i=1}^t N_i$$

En consecuencia, podemos utilizar la Ley de los Grandes Números para enunciar el resultado anterior...

Dado que $t \in \mathbb{R}_+$ ...esta prueba necesita ser ajustada de alguna manera... Pero no estoy exactamente seguro de cómo hacerlo.

Intuitivamente hablando, creo que el enfoque correcto sería descomponer $N[0,t]$ en $N[0,\lfloor t\rfloor]$ y $N[\lfloor t\rfloor, t]$ y argumentan que este último término $\rightarrow 0$ casi seguro.

Sin embargo, no sé cómo decirlo formalmente.

Answer 1

Si $n\leqslant t\lt n+1$ entonces $N_n\leqslant N_t\leqslant N_{n+1}$ de ahí $$ \frac{n}t\cdot\frac{N_{n}}{n}\leqslant\frac{N_t}t\leqslant\frac{n+1}t\cdot\frac{N_{n+1}}{n+1}. $$ En $t\to\infty$ , $\frac{n}t\to1$ y $\frac{n+1}t\to1$ porque $n$ es la parte entera de $n$ de ahí $t-1\lt n\leqslant t$ . Además, $\frac{N_n}n\to\lambda$ (el resultado que has mostrado) porque $n\to\infty$ y $\frac{N_{n+1}}{n+1}\to\lambda$ por la misma razón. Has terminado.