Estoy teniendo un problema con la aplicación de la Cramér-Rao desigualdad para identificar el límite inferior de la varianza de un estimador imparcial y esperaba que ustedes me podría ayudar. El problema es el siguiente:
Deje $X_{1},\dots,X_{n}$ ser una muestra aleatoria de la densidad $f(x|\theta)=\frac{1}{\theta}e^{-\frac{x}{\theta}}, x\geq0$, $0$ de lo contrario. Encontrar el Cramér-Rao límite inferior de la varianza de un proceso imparcial estimater de la varianza de la población $\theta^{2}$.
Ahora, el problema en sí no es demasiado difícil y encontrar el MLE para $\theta^{2}$ no era un problema. Por la búsqueda de la MLE para $\theta^{2}$ (que me pareció ser $(\frac{\sum^{n}_{i=1}Xi}{n})^{2} = \bar{X}^{2}$ si no me equivoco), ya he encontrado el registro$f(x|\theta)$ y sus derivados. Así, desde la Cramér-Rao Desigualdad (para variables aleatorias iid) está dada por
$Var_{\theta}[W(\boldsymbol{X})] \geq \frac{(\frac{d}{d\theta}E_{\theta}W(\boldsymbol{X}))^{2}}{nE_{\theta}[(\frac{\partial}{\partial\theta}\text{log}f(\boldsymbol{X}|\theta))^{2}]}$
También, desde la $f(\boldsymbol{x|\theta})$ pertenece a la exponencial de la familia,
$E_{\theta}[(\frac{\partial}{\partial\theta}\text{log}f(\boldsymbol{X|\theta}))^{2}] = -E_{\theta}[\frac{\partial^{2}}{\partial^{2}\theta^{2}}\text{log}f(\boldsymbol{X|\theta})]$
Si no estoy totalmente equivocado con la notación aquí (hemos hablado de este tema en clase muy brevemente), he encontrado los siguientes valores:
- Para $E_{\theta}[\frac{\partial^{2}}{\partial^{2}\theta^{2}}\text{log}f(\boldsymbol{X|\theta})]$:
$ E_{\theta}[\frac{n}{\theta^{2}} - \frac{2\sum^{n}_{i=1}X_{i}}{\theta^{3}}] = \frac{n}{\theta^{2}} - \frac{2}{\theta^{3}}E[\sum^{n}_{i=1}X_{i}] \\ = \frac{n}{\theta^{2}} - \frac{2}{\theta^{3}}nE[X_{1}] = \frac{n}{\theta^{2}} - \frac{2}{\theta^{3}}n \theta = -\frac{n}{\theta^{2}}$
Por lo tanto, el término en el denominador se convierte en $\frac{n^{2}}{\theta^{2}}$
- Para $(\frac{d}{d\theta}E_{\theta}W(\boldsymbol{X}))^{2}$:
Esta es la parte donde estoy realmente confundido. Ya que estamos hablando de un estimador de $\theta^{2}$, yo habría tomado la primera derivada con respecto a $\theta$ y cuadrado, para obtener $4\hat{\theta}^{2}$ en el numerador. Esto daría
$Var_{\theta}[\hat{\theta}^{2}] \geq \frac{4\hat{\theta}^{4}}{n^{2}}$
para mi Cramér-Rao obligado. Parece extraño, teniendo en cuenta el más que simples expresiones usualmente obtenemos como soluciones a nuestros problemas. Estoy en el camino equivocado aquí?
También lo siento por preguntar tal vez simple pregunta. El conjunto de las estadísticas de la clase era sólo un medio-curso de un semestre, por lo que hemos tratado algunos de los conceptos más superficialmente.
Gracias de antemano!
