CH para embaldosados del plano

Question

Dado cualquier conjunto de curvas de jordan que puede embaldosar el plano, como para demostrar que el número de posibles embaldosados el uso de baldosas de este conjunto, ya sea en bijection con los números reales o (posiblemente infinito) subconjunto de los números enteros?

Dos apuntados son iguales si puede ser que se ha hecho coincidir por traducciones o rotaciones.

Answer 1

Son sus azulejos en forma de cuadrado? Entonces, uno puede probar el resultado por lo que es esencialmente una compacidad argumento. Aquí está una breve idea:

Azulejo en el orden de un cuadrado de tamaño de $1\times1$, luego un cuadrado más grande que contiene uno, de tamaño $2\times 2$, luego una más grande que la contiene, de tamaño $3\times 3$, etc.

Supongamos que su suelo de baldosas permite que usted para embaldosar el plano en un no-periódicas de la moda. Entonces, por alguna $n$, usted tendrá por lo menos dos opciones para el azulejo de la $n\times n$ plaza cuando llegues allí. Continuar "en tablas separadas" con cada una de estas dos maneras. De nuevo, por el incumplimiento de la periodicidad, usted debe, en cada caso, llegar a un mayor $m$ de manera tal que el $m\times m$ plaza puede ser distribuidas en al menos dos maneras de llegar allí (por supuesto, el $m$ en un caso puede ser diferente de la $m$ en el otro caso). De continuar "en tablas separadas" de esta manera, usted está construyendo un completo árbol binario, cada ruta a través de la cual le da un "diferente" mosaico del plano. Las citas están aquí, como todavía no estamos distinguiendo entre las traducciones. Pero sólo hay countably muchos se traduce de un determinado suelo de baldosas (si insistimos en que, por ejemplo, las fronteras de nuestras plazas coinciden con las líneas de la forma $x=n$ o $y=m$$n,m\in{\mathbb Z}$). Pero entonces, incluso después de la identificación se traduce, nos quedamos con el continuum de muchos diferentes embaldosados del plano.

La otra posibilidad es que los iconos no se permite a los no-periódico apuntados. Entonces, no importa qué camino seguir, el proceso anterior debe dejar de "división". Pero, sólo la producción de countably muchos apuntados en esto de la moda.