Orden del problema de integración en la probabilidad

Question

En un problema en mi probabilidad supuesto, podemos cambiar el orden de integración, y estoy teniendo problemas para ver por qué tenemos que hacerlo de esta manera.

$$\int_0^\infty \int_{\{x : g(x) > t\}} f_X(x)dxdt = \int_{-\infty}^\infty \int_{\{t : 0 \le t < g(x)\}} f_X(x) dt dx.$$

¿Alguien puede aclararme por qué esto funciona. Yo sé cómo funciona con ejemplos sencillos, pero por alguna razón la $g(x) > t$ es jugar con mi cabeza.

Answer 1

Esta es una sencilla aplicación de funciones de los indicadores de la técnica y del teorema de Fubini $$\begin{align} \int\limits_0^\infty \int\limits_{\{x : g(x) > t\}} f_X(x)dxdt &= \int\limits_0^\infty \int\limits_{-\infty}^\infty f_X(x) 1_{\{(x,t) : g(x) > t\}}dxdt \\ &=\int\limits_{-\infty}^\infty \int\limits_0^\infty f_X(x) 1_{\{(x,t) : g(x) > t\}}dtdx \\ &=\int\limits_{-\infty}^\infty \int\limits_0^\infty f_X(x) 1_{\{(x,t) : g(x) > t\geq 0\}}dtdx \\&=\int\limits_{-\infty}^\infty \int\limits_{\{t : 0\leq t < g(x)\geq 0\}} f_X(x) dtdx \end{align}$$

Answer 2

Deje $I(x,t)$ ser una función de la $x$ $t$ $1$ al $g(x) \gt t$ [es decir, al $t \lt g(x)$] y es $0$ lo contrario.

Así que usted tiene $$\int_{t=0}^\infty \int_{x=-\infty}^\infty f_X(x)I(x,t) \,dx\, dt = \int_{x=-\infty}^\infty \int_{t=0}^\infty f_X(x)I(x,t) \,dt \,dx$$ and which should be intuitively obvious: $f_X(x)I(x,t)$ is a non-negative function of $x$ and $t$ por lo que no importa en qué orden hacer la integración de más de la mitad entera de plano.