$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_\frac {1}{2}^0\exp(-x^2/2)dx$

Question

¿Cómo podemos evaluar analíticamente $J=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_\frac {-1}{2}^0\exp(-x^2/2)dx$? Esto es lo que he intentado: $$ J^2=\frac{1}{{2\pi}}\int_\frac {-1}{2}^0\int_\frac {-1}{2}^0\exp(-(x^2+y^2)/2)dxdy \\ =\frac{1}{{2\pi}}\int_\pi ^\frac {3\pi}{2}\int_0 ^\frac {1}{2}\exp(-r^2/2)rdrd\theta \\ =\frac{1}{4}(1-\exp(-1/8))$$ Donde conseguí $J=.17$ Pero, esto no concuerda con el valor de la nornal la tabla de distribución. Estoy haciendo retorcer? Existe una mejor forma de evaluar la integral?

Answer 1

Por desgracia, no se puede evaluar en forma cerrada. Es el Gaussiano función de error y, en general, sólo se puede evaluar numéricamente.

Answer 2

Usted podría utilizar $$e^x=\sum_{i=1}^{\infty}\frac{x^i}{i!}$$