¿Cómo puedo demostrar que $f(x)=1+2x+\cdots+(p-1){x}^{p-2}$ no es reducible en $\mathbb{Q}$ , donde $p$ es primo.
Respuesta
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Por el lema de Gauss, sólo tenemos que demostrar que $f$ no es irreducible sobre $\mathbb{Z}$ . Tenemos $$g(x):=(x-1)^2f(x)=(p-1)x^p-px^{p-1}+1.$$
Considere $g(x)$ en el campo $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ , donde $g(x)=(p-1)(x-1)^p$ . Por lo tanto, tenemos $f(x)=(p-1)(x-1)^{p-2}$ en $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ . Por lo tanto, $f(x+1)=(p-1)x^{p-2}$ en $\mathbb{F}_p[x]$ . El término constante de $f(x+1)$ es $(p-1)C_2^p-pC_2^{p-1}$ que es divisible por $p$ pero no por $p^2$ . Entonces por el criterio de Einsenstein, $f(x+1)$ es irreducible. Como resultado, $f(x)$ es irreducible.
