Qué $f$ tiene un límite si $\lim_{x\to\infty}f'(x)=0$?

Question

Deje $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ser una limitada función tal que $\lim_{x\to\infty}f'(x)=0$. Es cierto que $\lim_{x\to\infty}f(x)$ existe?

Creo que es cierto, ya que no puedo ver un ejemplo contrario, pero no veo cómo utilizar el acotamiento en el fin de excluir las funciones como el logaritmo. Cómo hacer frente a?

Answer 1

$\sin (\log x)$ hace el truco - que oscila de $-1$ $1$indefinidamente y su derivada es $1/x \cos ( \log x)$ que va a cero.

Edit: Como Daniel se ha señalado, esto no está definido en todos los de $\mathbb{R}$, pero la modificación de la $\sin (\log (1+x^2))$ todavía funciona.