Dado un triángulo $ABC$, e $M$ es un punto interior. Probar que: $\dfrac{MA}{BC}+\dfrac{MB}{CA}+\dfrac{MC}{AB}\geq \sqrt{3}$.
¿Cuándo la igualdad?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Deje $M,A,B,C$ ser las imágenes geométricas de los números complejos $z,z_{1},z_{2},z_{3}$, deje $f(x)=1$, a continuación, utilizar la interpolación de Lagrange formula que se aplica para el polinomio $f(x)$, tenemos $$\dfrac{(z-z_{1})(z-z_{2})}{(z_{3}-z_{1})(z_{3}-z_{2})}f(z_{3})+\dfrac{(z-z_{2})(z-z_{3})}{(z_{1}-z_{2})(z_{1}-z_{3})}f(z_{1})+\dfrac{(z-z_{3})(z-z_{1})}{(z_{2}-z_{3})(z_{2}-z_{1})}f(z_{2})=1$$ así $$\dfrac{(z-z_{1})(z-z_{2})}{(z_{3}-z_{1})(z_{3}-z_{2})}+\dfrac{(z-z_{2})(z-z_{3})}{(z_{1}-z_{2})(z_{1}-z_{3})}+\dfrac{(z-z_{3})(z-z_{1})}{(z_{2}-z_{3})(z_{2}-z_{1})}=1$$ $$\Longrightarrow \left|\dfrac{(z-z_{1})(z-z_{2})}{(z_{3}-z_{1})(z_{3}-z_{2})}\right|+\left|\dfrac{(z-z_{2})(z-z_{3})}{(z_{1}-z_{2})(z_{1}-z_{3})}\right|+\left|\dfrac{(z-z_{3})(z-z_{1})}{(z_{2}-z_{3})(z_{2}-z_{1})}\right|\ge 1$$ así $$\dfrac{MA}{BC}\cdot\dfrac{MB}{CA}+\dfrac{MB}{CA}\cdot\dfrac{MC}{AB}+\dfrac{MC}{AB}\cdot\dfrac{MA}{BC}\ge 1$$ el uso de este $$(a+b+c)^2\ge 3(ab+bc+ac)$$ entonces tenemos $$\dfrac{MA}{BC}+\dfrac{MB}{AC}+\dfrac{MC}{AB}\ge\sqrt{3}$$
wujj123456
Puntos
171
Prueba Geométrica:
En esta prueba, $M$ no se considera dentro de $ABC$. Deje $P$ $Q$ ser los puntos tales que $APBC$ $MQBC$ son paralelogramos. Tenga en cuenta que $APQM$ también es un paralelogramo. Por lo tanto, $AP=BC=MQ$, $BP=CA$, $BQ=MC$, y $PQ=MA$.
Considerar el cuadrilátero $APQB$. Tenemos por Ptolomeo de la Desigualdad que $$MC\cdot BC+MA\cdot AB=AP\cdot BQ+PQ\cdot AB\geq BP\cdot AQ =CA\cdot AQ\,.$$
Por lo tanto,
$$MB\cdot MC\cdot BC+MA \cdot MB\cdot AB\geq CA\cdot MB\cdot AQ \,,$$
y así
$$MB\cdot MC\cdot BC+MC\cdot MA\cdot CA+MA \cdot MB\cdot AB \geq CA\cdot (MC\cdot MA+MB\cdot AQ)\,.$$
Ahora, mira el cuadrilátero $MAQB$. Por Ptolomeo de la Desigualdad,
$$MC\cdot MA+MB\cdot AQ=BQ\cdot MA+MB\cdot AQ\geq MQ\cdot AB=BC\cdot AB\,. $$
Es decir,
$$MB\cdot MC\cdot BC+MC\cdot MA\cdot CA+MA \cdot MB\cdot AB \geq CA\cdot(BC\cdot AB)=BC\cdot CA\cdot AB\,,$$
de dónde
$$\frac{MB}{CA}\cdot\frac{MC}{AB}+\frac{MC}{AB}\cdot\frac{MA}{BC}+\frac{MA}{BC}\cdot\frac{MB}{CA}\geq 1\,.$$
La igualdad ocurre si y sólo si ambas $APQB$ $MAQB$ son convexas cuadriláteros cíclicos, lo que significa que $M\in\{A,B,C\}$ o de que, si $ABC$ es un triángulo agudo, $M$ es el ortocentro de $ABC$.
El resto es como en math110 de la solución. La desigualdad de $\frac{MA}{BC}+\frac{MB}{CA}+\frac{MC}{AB}\geq\sqrt{3}$ se convierte en una igualdad si y sólo si $ABC$ es equilátero y $M$ es su centroide.
