$\mathcal{L}_{1}$ espacio criterio.

Question

$\bf{\text{Definition:}}$ Deje $X$ ser un espacio de Banach. $X$ $\mathcal{L}_{1,\lambda}$- espacio si, para todos finito-dimensional subespacios $M$$X$, existe un número finito de dimensiones subespacio $N$ $X$ contiene $M$, y un isomorfismo $T\in B(N,\ell_{1}^{k})$ (donde $k=\text{dim}(N))$ tal que $\|T\|\cdot\|T^{-1}\|\leq \lambda$.

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$\bf{\text{Exercise:}}$

Demostrar que las siguientes son equivalentes para un espacio de Banach $X$.

Esto aparece como un comentario en Raymond Ryan "Introducción a Tensor de Productos de los Espacios de Banach".

(1) Para todos los $\epsilon > 0$, $X$ es una $\mathcal{L}_{1,1+\epsilon}$ espacio.

(2) Para todas las $\epsilon > 0$, y para todos finito-dimensional subespacios $M\subset X$, existe un número finito de dimensiones subespacio $N\subset X$ contiene $M$ y un isomorfismo $T\in B(N,\ell_{1}^{k})$ (donde $k=\text{dim}(N)$) tal que para todo $x\in N$, $\left|\|Tx\| - \|x\|\right| \leq \epsilon\|x\|$.

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Después de desenrollar todos los cuantificadores, el $(2)\Rightarrow (1)$ dirección directa.

$\bf{\text{Sketch:}}$

Deje $\epsilon > 0$, y $M$ ser finito-dimensional subespacio de $X$. A continuación, elija $\delta > 0$, de modo que $\frac{2\delta}{1 + \delta} < \epsilon$. Por supuesto, existe $N\subset X$ contiene $M$ y un isomorfismo $T\in B(N,\ell_{1}^{k})$ tal que para todo $x\in N$, $\left|\|Tx\| - \|x\|\right| \leq \epsilon\|x\|$.

Con el triángulo de la desigualdad y la condición dada en $T$, se deduce que el $\|T\|\leq 1 + \delta$$\|T^{-1}\|\leq \frac{1}{1-\delta}$. Por lo tanto,$\|T\|\cdot \|T^{-1}\|\leq 1 + \epsilon$, por el camino de $\delta$ fue el elegido.

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$\bf{\text{My Problem:}}$

Pero el $(1)\Rightarrow (2)$ dirección me tiene totalmente perplejo. Cuando intento aplicar la hipótesis dada en $(1)$, me parece que no puede obtener la conclusión de $(2)$. Hay una cosa que es evidente que me falta? o es que hay algunos resbaladizo truco?

Answer 1

Deje $\varepsilon >0$ y un finito dimensionales subespacio $M \subset X$ ser fijo.

También vamos a arreglar $\delta >0$; más adelante veremos qué valor debemos elegir para $\delta$. Entonces existe un espacio de dimensión finita $N$ tal que $M \subset N$ y un isomorfismo $T \in B(N, \ell_1^k)$ tal que $\Vert T \Vert \cdot \Vert T^{-1} \Vert <1 + \delta$.

De hecho, para simplificar nuestras expresiones un poco, podemos asumir que $\Vert T \Vert =1$$\Vert T^{-1} \Vert < 1 + \delta$. (Si reemplazamos $T$$\tilde T= \frac{T}{\Vert T \Vert}$, podemos obtener mapas de verificar esta condición).

Entonces tenemos que $$ \frac{1}{1+\delta} \Vert x \Vert \leq \Vert Tx \Vert \leq \Vert x \Vert. $$ Restando $\Vert x \Vert$ de cada término, obtenemos $$ \left(1 -\frac{1}{1+\delta} \right) \Vert x \Vert \leq \Vert Tx \Vert - \Vert x \Vert \leq 0. $$

Pero si elegimos $\delta = \frac{\varepsilon}{1-\varepsilon}$, podemos reescribir la línea de arriba como $$ | \Vert Tx \Vert - \Vert x \Vert | \leq \epsilon \Vert x \Vert. $$